Pritja matematike

Në teorinë e probabilitetit, pritja matematike (e quajtur edhe pritja, pritshmëria, operatori i pritjes, vlera e pritur, mesatarja, mesatarja ose momenti i parë ) është një përgjithësim i mesatares së peshuar . Joformalisht, vlera e pritur është mesatarja aritmetike e një numri të madh rezultatesh të zgjedhura në mënyrë të pavarur të një ndryshoreje të rastësishme .

Pritja matematike e një ndryshoreje të rastësishme me një numër të kufizuar rezultatesh është një mesatare e peshuar e të gjitha rezultateve të mundshme. Në rastin e një vazhdimësie të rezultateve të mundshme, pritshmëria përcaktohet nga integrimi . Në bazën aksiomatike për probabilitetin e ofruar nga teoria e masës, pritshmëria jepet nga integrimi i Lebegut .

Vlera e pritur e një ndryshoreje të rastit $X$ shpesh shënohet me $E[X]$, $E(X)$ ose ${\text{EX}}$, me E të stilizuar gjithashtu shpesh si E ose $\mathbb {E} .$

Shënimet

Përdorimi i shkronjës E për të treguar "vlerën e pritur" shkon prapa në kohë tek W. A Whitworth në 1901. Simboli është bërë i njohur që atëherë për shkrimtarët anglezë. Në gjermanisht, E do të thotë Erwartungswert, në spanjisht esperanza matemática dhe në frëngjisht për espérance mathématique.

Kur "E" përdoret për të treguar "vlerën e pritur", autorët përdorin një sërë stilizimesh: operatori i pritjes mund të stilizohet si E (drejt), E (italik), ose $\mathbb {E}$ (me shkronja të zeza në dërrasën e zezë ), ndërkohë që përdoren të gjitha shënimet e kllapave (të tilla si $E(X)$, $E[X]$ dhe ${\text{EX}}$.

Një tjetër shënim popullor është $\mu _{X}$, ndërsa $\langle X\rangle$, $\langle X\rangle _{av}$, dhe ${\overline {X}}$ përdoren zakonisht në fizikë, dhe M(X) në literaturën në gjuhën ruse.

Përkufizimi

Siç u diskutua më lart, ekzistojnë disa mënyra të varura nga konteksti për të përkufizuar pritjen matematike. Përkufizimi më i thjeshtë dhe origjinal ka të bëjë me rastin e shumë rezultateve të mundshme të fundme, si p.sh. rrokullisja e një monedhe. Me teorinë e serive të pafundme, kjo mund të zgjerohet në rastin e shumë rezultateve të mundshme të numërueshme. Është gjithashtu shumë e zakonshme të merret në konsideratë rasti i veçantë i ndryshoreve të rastit të diktuara nga funksionet e densitetit të probabilitetit (pjesë-pjesë) të vazhdueshme, pasi këto lindin në shumë situata natyrore. Të gjitha këto përkufizime specifike mund të shihen si raste të veçanta të përkufizimit të përgjithshëm bazuar në mjetet matematikore të teorisë së matjes dhe integrimit sipas Lebegut, të cilat u ofrojnë këtyre konteksteve të ndryshme një bazë aksiomatike dhe një gjuhë të përbashkët.

Ndryshore rasti me rezultate të pafundme

Konsideroni një ndryshore rasti $X$ me një listë të fundme $x_{1},x_{2},...,x_{k}$ të rezultateve të mundshme, secila prej të cilave (përkatësisht) ka probabilitet p₁, ..., p_k të ndodhë. Pritja matematike e $X$ është përcaktuar si:

$\operatorname {E} [X]=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\cdots +x_{k}p_{k}.$

Meqenëse probabilitetet duhet të plotësojnë kushtin p₁ + ⋅⋅⋅ + p_k = 1, është e natyrshme të interpretohet $E[X]$ si një mesatare e ponderuar e vlerave x_i, me peshat e dhëna nga probabilitetet e tyre p_i .

Shembuj

Një ilustrim i konvergjencës së mesatareve të serisë së hedhjeve të zarit në vlerën e pritur prej 3,5 ndërsa numri i hedhjeve (provave) rritet

• Le të përfaqësojë $X$ rezultatin e një hedhje të një zari të drejtë me gjashtë anë. Më specifikisht, $X$ do të jetë numri i pikave që shfaqen në pjesën e sipërme të zarit pas hedhjes. Vlerat e mundshme për $X$ janë 1, 2, 3, 4, 5 dhe 6, të gjitha këto janë njësoj të mundshme me një probabilitet prej ${\frac {1}{6}}$ . Pritja e $X$ është

$\operatorname {E} [X]=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}=3.5.$

Nëse dikush e hedh zarin $n$ herë dhe njehson mesataren ( mesatarja aritmetike ) e rezultateve, pastaj si $n$ rritet, mesatarja pothuajse me siguri do të konvergjojë në vlerën e pritur, një fakt i njohur si ligji i fortë i numrave të mëdhenj .

• Loja e ruletës përbëhet nga një top i vogël dhe një rrotë me 38 xhepa të numëruar në skaj. Ndërsa rrota rrotullohet, topi kthehet në mënyrë të rastësishme derisa të vendoset në një nga xhepat. Supozoni një ndryshore të rastësishme $X$ përfaqëson rezultatin (monetar) të një basti 1$ në një numër të vetëm (bast "drejtpërdrejt"). Nëse basti fiton (gjë që ndodh me probabilitet ${\frac {1}{38}}$ në ruletën amerikane), fitimi është 35 dollarë; përndryshe lojtari humbet bastin. Fitimi i pritur nga një bast i tillë do të jetë

$\operatorname {E} [\,{\text{fitimi nga }}\$1{\text{ bast}}\,]=-\$1\cdot {\frac {37}{38}}+\$35\cdot {\frac {1}{38}}=-\${\frac {1}{19}}.$

Kjo do të thotë, vlera e pritur që do të fitohet nga një bast $1 është -${\frac {1}{19}}$$  Kështu, në 190 baste, humbja neto ndoshta do të jetë rreth 10 dollarë.

Ndryshorja e rastit me rezultate të numërueshme

Joformalisht, pritja e një ndryshoreje rasti me një grup të numërueshëm rezultatesh të mundshme përkufizohet në mënyrë analoge si mesatare e ponderuar e të gjitha rezultateve të mundshme, ku peshat jepen nga probabilitetet e ndodhjes të secilës vlerë të dhënë. Kjo do të thotë se

$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i},$

Ndodh që në shumë tekste jo-matematikore, kjo paraqitet si përkufizim i plotë i vlerave të pritshme në këtë kontekst. $x_{i}$ janë rezultatet e ndryshores $X$ ndërsa $p_{i}$ janë probabilitetet përkatëse.

Ndryshoret e rastit me dendësi

Tani konsideroni një ndryshore rastiX e cila ka një funksion densiteti probabilitar të dhënë nga funksioni f i përcaktuar në boshtin e numrave realë. Kjo do të thotë se probabiliteti qëX të marrë një vlerë në një interval të dhënë jepet nga integrali i f mbi atë interval. Pritja matematike e X jepet nga integrali

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx.$

Në mënyrë analoge me rastin e numërueshëm dhe të pafundëm mësipër, ka hollësi me këtë shprehje për shkak të rajonit të pafundëm të integrimit. Këto hollësi mund të shihen konkretisht nëse shpërndarja e $X$ jepet nga shpërndarja Cauchy ${\text{Cauchy}}(0,\pi )$, kështu që $f(x)={\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}}}$ . Është e thjeshtë të llogaritet në këtë rast se

$\int _{a}^{b}xf(x)\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {x}{x^{2}+\pi ^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}+\pi ^{2}}{a^{2}+\pi ^{2}}}.$

Kufiri i kësaj shprehjeje kur a → −∞ dhe b → ∞ nuk ekziston: nëse kufijtë merren të tillë që $a=-b$, atëherë kufiri është zero, ndërsa nëse kufizimi $2a=-b$ merret, atëherë kufiri është $\ln(2)$ .

Vlerat e pritshme të pafundme

Vlerat e pritshme siç përcaktohen më sipër janë automatikisht numra të fundëm. Megjithatë, në shumë raste është thelbësore të jemi në gjendje të konsiderojmë vlerat e pritura si ±∞ . Kjo është intuitive, për shembull, në rastin e paradoksit të Shën Petersburgut, në të cilin merret parasysh një ndryshore e rastit me rezultate të mundshme x_i = 2ⁱ, me probabilitete të lidhura $p_{i}=2^{-i}$, për i që varion mbi të gjithë numrat e plotë pozitivë. . Sipas formulës së shumës në rastin e ndryshoreve të rastit me shumë rezultate të numërueshme, marrim$$\operatorname {E} [X]=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i}=2\cdot {\frac {1}{2}}+4\cdot {\frac {1}{4}}+8\cdot {\frac {1}{8}}+16\cdot {\frac {1}{16}}+\cdots =1+1+1+1+\cdots .$$Është e natyrshme të thuhet se vlera e pritur është e barabartë me +∞ .

Vlerat e pritshme të shpërndarjeve të zakonshme

Shpërndarja	Shënimi	Mesatarja ${\textbf {E[X]}}$
Bernoulli [24]	$X\sim ~b(1,p)$	$0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$
Binomiale [25]	$X\sim B(n,p)$	$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=np$
Poisson [26]	$X\sim \mathrm {Po} (\lambda )$	$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {ie^{-\lambda }\lambda ^{i}}{i!}}=\lambda$
Gjeometrike [27]	$X\sim \mathrm {Geometric} (p)$	$\sum _{i=1}^{\infty }ip(1-p)^{i-1}={\frac {1}{p}}$
Uniforme [28]	$X\sim U(a,b)$	$\int _{a}^{b}{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}$
Eksponenciale [29]	$X\sim \exp(\lambda )$	$\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}$
Normale [30]	$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}\,dx=\mu$
Standarde Normale [31]	$X\sim N(0,1)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-x^{2}/2}\,dx=0$
Pareto [32]	$X\sim \mathrm {Par} (\alpha ,k)$	$\int _{k}^{\infty }\alpha k^{\alpha }x^{-\alpha }\,dx={\begin{cases}{\frac {\alpha k}{\alpha -1}}&\alpha >1\\\infty &0\leq \alpha \leq 1.\end{cases}}$
Cauchy [33]	$X\sim \mathrm {Cauchy} (x_{0},\gamma )$	${\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma x}{(x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx$ është i papërcaktuar

Vetitë

Vetitë bazë më poshtë (dhe emrat e tyre me shkronja të zeza) përsëriten ose pasojnë menjëherë nga ato të integralit të Lebegut . Vini re se shkronjat "a.s." do të thonë " pothuajse me siguri " - një veti qendrore e integralit të Lebegut. Në thelb, kur dikush thotë se një pabarazi si $X\geq 0$ është e vërtetë pothuajse me siguri, kur masa e probabilitetit i atribuon masën zero ngjarjes plotësuese $\left\{X<0\right\}.$

• $X$Jonegativiteti: Nëse $X\geq 0$ (a.s.), atëherë $\operatorname {E} [X]\geq 0.$

• Lineariteti i pritshmërisë: Operatori i vlerës së pritur (ose operatori i pritjes ) $\operatorname {E} [\cdot ]$ është linear në kuptimin që, për çdo ndryshore rasti$X$ dhe $Y,$ dhe një konstante $a,$ $${\begin{aligned}\operatorname {E} [X+Y]&=\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [Y],\\\operatorname {E} [aX]&=a\operatorname {E} [X],\end{aligned}}$$

Me induksion, kjo do të thotë se pritja matematike e shumës së çdo numri të fundëm të ndryshoreve të rastit është shuma e pritjeve matematike të ndryshoreve individuale të rastit, dhe pritja matematike shkallëzohet në mënyrë lineare me një konstante shumëzuese. Në mënyrë simbolike, për $N$ variabla të rastit $X_{i}$ dhe konstante $a_{i}(1\leq i\leq N),$ ne kemi ${\textstyle \operatorname {E} \left[\sum _{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\operatorname {E} [X_{i}].}$

• Monotonia: Nëse $X\leq Y$ (a.s.), dhe të dyja $\operatorname {E} [X]$ dhe $\operatorname {E} [Y]$ ekzistojnë, atëherë $\operatorname {E} [X]\leq \operatorname {E} [Y].$
  Vërtetimi rrjedh nga vetia e linearitetit dhe jonegativitetit për $Z=Y-X,$ meqë $Z\geq 0$ (a.s. ).
• Jo-degjenerimi: Nëse $\operatorname {E} [|X|]=0,$ atëherë$X=0$ (a.s. ).
• Nëse $X=Y$ (a.s.), atëherë $\operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [Y].$ Me fjalë të tjera, nëse dhe Y janë ndryshore rasti që marrin vlera të ndryshme me probabilitet zero, atëherë pritshmëria e X do të jetë e barabartë me pritshmërinë e Y.
• Nëse $X=c$ (a.s.) për një numër real c, atëherë $\operatorname {E} [X]=c.$ Në veçanti, për një ndryshore rasti $X$ me pritshmëri të mirëpërcaktuar, $\operatorname {E} [\operatorname {E} [X]]=\operatorname {E} [X].$
• Si pasojë e formulës |X| = X ⁺ + X ⁻ siç u diskutua më sipër, së bashku me mosbarazimin e trekëndëshit, rezulton se për çdo ndryshore rasti $X$ me pritshmëri të mirëpërcaktuar, marrim $|\operatorname {E} [X]|\leq \operatorname {E} |X|.$
• Le të shënojë 1_A funksionin tregues të një ngjarje A, atëherë E[1_A] jepet nga probabiliteti i A . Kjo nuk është gjë tjetër veçse një mënyrë tjetër për të deklaruar pritshmërinë e një ndryshoreje të rastësishme Bernoulli, siç llogaritet në tabelën e mësipërme.
• Formulat për sa i përket CDF: Nëse $F(x)$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes i një ndryshoreje të rastit $X$, atëherë$$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,dF(x),$$

• Jo-shumëzimi: Në përgjithësi, vlera e pritur nuk është shumëzuese, dmth $\operatorname {E} [XY]$ nuk është domosdoshmërisht e barabartë me $\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].$ Nëse $X$ dhe $Y$ janë të pavarura, atëherë mund ta tregojmë këtë $\operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].$ Nëse variablat e rastit janë të varura, atëherë në përgjithësi $\operatorname {E} [XY]\neq \operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],$ edhe pse në raste të veçanta të varësisë barazia mund të mbahet.
• Ligji i statisticienit të pavetëdijshëm : Vlera e pritshme e një funksioni të matshëm të $X,$$g(X),$ duke pasur parasysh se $X$ ka një funksion të densitetit të probabilitetit $f(x),$ jepet nga produkti i brendshëm i $f$ dhe $g$ : $\operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.$$$\operatorname {E} [g(X)]=\int _{\mathbb {R} }g(x)f(x)\,dx.$$

Mosbarazimet

Mosbarazimi i Markovit është ndër më të njohurat dhe më të thjeshtat për t'u vërtetuar: për një ndryshore rasti jonegative $X$ dhe çdo numër pozitiv a, pohohet se:$$\operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} [X]}{a}}.$$Nëse $X$ është një ndryshore rasti me pritje të fundme, atëherë pabarazia e Markovit mund të zbatohet për ndryshoren e rastit $|X-E[X]|^{2}$ për të marrë mosbarazimin e Çebishevit$$\operatorname {P} (|X-{\text{E}}[X]|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {Var} [X]}{a^{2}}},$$ku Var është varianca . Këto mosbarazime janë të rëndësishme për mungesën e tyre pothuajse të plotë të kushteve. Për shembull, për çdo ndryshore rasti me pritje matematike të fundme, mosbarazimi i Chebyshevit nënkupton se ekziston të paktën një probabilitet 75% që një rezultat të jetë brenda dy devijimeve standarde nga pritja matematike. Megjithatë, në raste të veçanta, pabarazitë e Markovit dhe Chebyshevit shpesh japin informacion shumë më të dobët sesa është në dispozicion. Për shembull, në rastin e një zari të paanuar, mosbarazimi i Chebyshevit thotë se gjasat për të patur rezultat midis 1 dhe 6 pas hedhjes janë të paktën 53%; Në realitet, gjasat janë sigurisht 100%. [38] Mosbarazimi i Kolmogorovit e shtrin mosbarazimin e Chebyshevit në kontekstin e shumave të ndryshoreve të rastit. [39]

Tre mosbarazimet e mëposhtme janë të një rëndësie themelore në fushën e analizës matematikore dhe zbatimeve të saj në teorinë e probabilitetit.

• Mosbarazimi i Jensenit: Le të jetë f: ℝ → ℝ një funksion konveks dhe $X$ një ndryshore rasti me pritje të fundme. Atëherë $$f(\operatorname {E} (X))\leq \operatorname {E} (f(X)).$$

• Mosbarazimi i Hölderit : nëse $p>1$ dhe $q>1$ janë numra që kënaqin kushtin $p^{-1}+q^{-1}=1$, atëherë $$\operatorname {E} |XY|\leq (\operatorname {E} |X|^{p})^{1/p}(\operatorname {E} |Y|^{q})^{1/q}.$$

• Mosbarazimi i Minkowskit : jepet çdo numër $p\geq 1$, për çdo ndryshore rasti $X$ dhe $Y$ me $\mathrm {E} |X|^{p},\mathrm {E} |Y|^{p}$ të dyja të fundme, rezulton se $\mathrm {E} |X+Y|^{p}$ është gjithashtu e fundme dhe$${\Bigl (}\operatorname {E} |X+Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}\leq {\Bigl (}\operatorname {E} |X|^{p}{\Bigr )}^{1/p}+{\Bigl (}\operatorname {E} |Y|^{p}{\Bigr )}^{1/p}.$$

Përdorimet dhe aplikimet

Pritja e një ndryshoreje rasti luan një rol të rëndësishëm në një sërë kontekstesh.

Në statistikë, ku kërkohen vlerësime për parametra të panjohur bazuar në të dhënat e disponueshme të marra nga zgjedhjet, mesatarja e zgjedhjes shërben si një vlerësim për pritshmërinë dhe është në vetvete një variabël rasti. Në mjedise të tilla, mesatarja e zgjedhjes konsiderohet se plotëson kriterin e dëshirueshëm për një vlerësues "të mirë" për të qenë i paanshëm (i pazhvendosur) ; domethënë, vlera e pritur e vlerësimit është e barabartë me vlerën e vërtetë të parametrit bazë.

Për një shembull tjetër, në teorinë e vendimmarrjes, një agjent që bën një zgjedhje optimale në kontekstin e informacionit jo të plotë shpesh supozohet të maksimizojë vlerën e pritur të funksionit të tij të dobisë .

Për të vlerësuar në mënyrë empirike vlerën e pritshme të një ndryshoreje rasti, matni në mënyrë të përsëritur vëzhgimet e ndryshores dhe llogaritni mesataren aritmetike të rezultateve. Nëse ekziston vlera e pritur, kjo procedurë vlerëson vlerën e vërtetë të pritjes matematike në mënyrë të paanshme dhe ka vetinë e minimizimit të shumës e mbetjes së katrorëve (shuma e diferencave në katror midis vëzhgimeve të bëra dhe vlerësimit). Ligji i numrave të mëdhenj tregon (në kushte mjaft të buta) se, ndërsa madhësia e kampionit bëhet më e madhe, varianca e këtij vlerësimi zvogëlohet.

Kjo veti shfrytëzohet në një gamë të gjerë zbatimesh duke përfshirë problemet e vlerësimit statistikor dhe machine learning, për të vlerësuar madhësitë me interes nëpërmjet metodave Monte Carlo, meqenëse më së shumti madhësitë e interesit mund të shkruhen në terma pritshmërie, psh $\operatorname {P} ({X\in {\mathcal {A}}})=\operatorname {E} [{\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}],$ ku ${\mathbf {1} }_{\mathcal {A}}$ është funksioni tregues/indikator i bashkësisë ${\mathcal {A}}.$

Masa e shpërndarjes së probabilitetit balancohet në vlerën e pritur, këtu një shpërndarje ${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$ me vlerën e pritur $\alpha /\alpha +\beta$.

Në mekanikën klasike, qendra e masës është një koncept analog me pritjen. Për shembull, supozoni se X është një ndryshore rasti diskrete me vlera $x_{i}$ dhe probabilitete përkatëse $p_{i}$ . Tani merrni parasysh një shufër pa masë, mbi të cilën janë vendosur pesha, në vendndodhjet $x_{i}$ përgjatë shufrës dhe me masa $p_{i}$ (shuma e të cilave është një). Pika në të cilën shufra baraspeshohet është $E[X]$.

Vlerat e pritur mund të përdoret gjithashtu për të llogaritur variancën, me anë të formulës llogaritëse për variancën

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.$

Një aplikim shumë i rëndësishëm i pritjes matematike është në fushën e mekanikës kuantike . Vlera e pritshme e një operatori mekanik kuantik ${\hat {A}}$ që vepron mbi një vektor të gjendjes kuantike $|\psi \rangle$ shkruhet si $\langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle .$ Pasiguria në ${\hat {A}}$ mund të llogaritet me formulën $(\Delta A)^{2}=\langle {\hat {A}}^{2}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle ^{2}$.