Seritë teleskopike

Në matematikë, një seri teleskopike është një seri termi i përgjithshëm i së cilës $t_{n}$ është i formës $t_{n}=a_{n+1}-a_{n}$, dmth ndryshimi i dy termave të njëpasnjëshëm të një vargu $(a_{n})$ .

Si pasojë, shumat e pjesshme përbëhen vetëm nga dy terma të $(a_{n})$ pas anulimit. Teknika e anulimit, ku një pjesë e çdo termi anulohet me një pjesë të termit tjetër, njihet si metoda e ndryshesave .

Për shembull, seria

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$

thjeshtohet në

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}$

Në përgjithësi

Shumat teleskopike janë shuma të fundme në të cilat çiftet e kufizave të njëpasnjëshme anulojnë njëra-tjetrën, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

Le të jetë $a_{n}$ një varg numrash. Pastaj,

$\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$

Nëse $a_{n}\rightarrow 0$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}$

Prodhimet teleskopike janë prodhime të fundme në të cilat termat e njëpasnjëshëm anulojnë emëruesin me numërues, duke lënë vetëm termat fillestarë dhe përfundimtarë.

Më shumë shembuj

• Shumë funksione trigonometrike gjithashtu pranojnë përfaqësimin si një ndryshese, i cili lejon anulimin teleskopik midis kufizave të njëpasnjëshme.
  $${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$$
• Disa shuma të formës $\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$
  $$\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$$
  ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}$
• Le të jetë k nj
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}$$
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}$$
• Le të k,m me k $\neq$ m të jenë numra të plotë pozitivë. Pastaj $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}$

Në teorinë e probabilitetit, një proces Poisson është një proces stokastik, rasti më i thjeshtë i të cilit përfshin "ngjarje" në kohë të rastit, kohën e pritjes deri në ndodhinë tjetër që ka një shpërndarje eksponenciale pa kujtesë dhe numrin e "ndodhjeve" në çdo interval kohor që ka një shpërndarje Poisson, pritja matematike e së cilës është e përpjesshme me gjatësinë e intervalit kohor. Le të jetë X _t numri i "ndodhive" përpara kohës t, dhe le të jetë T _x koha e pritjes deri në "ngjarjen" e x -të. Ne kërkojmë funksionin e densitetit të probabilitetit të ndryshores së rastit T _x . Ne përdorim funksionin e masës së probabilitetit për shpërndarjen Poisson, i cili na tregon këtë

$\Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},$

ku λ është numri mesatar i dukurive në çdo interval kohor me gjatësi 1. Vëreni se ngjarja { X _t ≥ x} është e njëjtë me ngjarjen { T _x ≤ t }, dhe kështu ato kanë të njëjtin probabilitet. Intuitivisht, nëse diçka ndodh të paktën $x$ herë para kohës $t$, duhet të presim më së shumti $t$ per dukurinë e $x-te$. Funksioni i dendësisë që ne kërkojmë është pra

${\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}$

Shuma teleskopon, duke lënë

$f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.$