Shpërndarja e Studentit matricore

Në statistikë, shpërndarja t matricore është përgjithësimi i shpërndarjes së Studentit shumëndryshore nga vektorët tek matricat . t -shpërndarja matricë ndan të njëjtën marrëdhënie me shpërndarjen t shumëndryshore që shpërndarja normale matricore ndan me shpërndarjen normale shumëndryshore .  Për shembull, shpërndarja t matricore është shpërndarja e përbërë që rezulton nga marrja e zgjedhjeve nga një shpërndarje normale e matricës që ka marrë zgjedhjen e matricës së kovariancës së matricës normale nga një shpërndarje e anasjelltë Wishart . 

Në një analizë Bayesian të një modeli regresioni linear shumëndryshor të bazuar në shpërndarjen normale të matricës, shpërndarja t matricore është shpërndarja parashikuese e pasme .

E ç'është shpërndarja t matricore?i

Për një shpërndarje t matricore, funksioni i dendësisë së probabilitetit në pikë $\mathbf {X}$ i nje hapësire $n\times p$ është

$f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},$

ku konstanta e integrimit K jepet nga

$K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.$

Këtu $\Gamma _{p}$ është funksioni gama shumëndryshor .

Shpërndarja e përgjithësuar

Trajta e përgjithësuar e kësaj shpërndarje jepet sipas:

${\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-(\alpha +n/2)}$

ku :

• $M$ - vendndodhja- një matricë reale $n\times p$
• $\Omega$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $p\times p$
• $\Sigma$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $n\times n$
• $\alpha >{\frac {p-1}{2}}$ parametri i formës
• $\beta >0$ parametri i shkallës

Matrica e përgjithësuar t - shpërndarja është një përgjithësim i matricës t - shpërndarjes me dy parametra α dhe β në vend të ν .

Kjo zvogëlohet në shpërndarjen t matricore me $\beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.$

Vetitë

Nëse $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ atëherë

$\mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).$

Vetia e mësipërme vjen nga teorema e Silvesterit për përcaktorët :

$\det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=$

$\det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).$

Nëse $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ dhe $\mathbf {A} (n\times n)$ dhe $\mathbf {B} (p\times p)$ atëherë janë matrica jo të anasjellta 

$\mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).$

Funksioni karakteristik është

$\phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),$

ku

$B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,$

dhe ku $B_{\delta }$ është funksioni i tipit dy Bessel i Herzit  i një argumenti matricor.