Funksioni karakteristik (teoria e probabilitetit)

Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastësishme uniforme $U(-1,1)$. Ky funksion është me vlera reale sepse korrespondon me një ndryshore të rastit që është simetrike rreth origjinës; megjithatë funksionet karakteristike në përgjithësi mund të jenë me vlera komplekse.

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni karakteristik i çdo ndryshoreje të rastit me vlera reale përcakton plotësisht shpërndarjen e probabilitetit . Nëse një ndryshore rasti pranon një funksion të dendësisë së probabilitetit, atëherë funksioni karakteristik është transformimi Furje i funksionit të dëndësisë së probabilitetit. Kështu ai ofron një rrugë alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkte me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet karakteristike të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e peshuara të ndryshoreve të rastit.

Përveç shpërndarjeve njëndryshore, funksionet karakteristike mund të përcaktohen për ndryshore të rastit me vlera vektoriale ose matricore, dhe gjithashtu mund të zgjerohen në raste më të përgjithshme.

Funksioni karakteristik ekziston gjithmonë kur trajtohet si funksion i një argumenti me vlera reale, ndryshe nga funksioni i gjenerimit të momenteve .

E ç'është funksioni karakteristik?

Funksioni karakteristik është një mënyrë për të përshkruar një ndryshore të rastit . Funksioni karakteristik ,

$\varphi _{X}(-it)=M_{X}(t).$

një funksion i ndryshores $t$, përcakton plotësisht sjelljen dhe vetitë e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastit $X$. Funksioni karakteristik është i ngjashëm me funksionin e shpërndarjes mbledhëse ,

$F_{X}(x)=\operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{X\leq x\}}\right]$

(ku ${\textbf {1}}_{X\leq x}$ është funksioni tregues — është i barabartë me 1 kur $X\leq x$, dhe përndryshe zero), i cili gjithashtu përcakton plotësisht sjelljen dhe vetitë e shpërndarjes së probabilitetit të ndryshores së rastit $X$. Të dy qasjet janë të njëvlershme në kuptimin që duke ditur njërin nga funksionet është gjithmonë e mundur të gjendet tjetri, megjithatë ato ofrojnë njohuri të ndryshme për të kuptuar veçoritë e n.r. Për më tepër, në raste të veçanta, mund të ketë dallime nëse këto funksione mund të përfaqësohen si shprehje që përfshijnë funksione të thjeshta standarde.

Nëse një ndryshore e rastit pranon një funksion dendësie, atëherë funksioni karakteristik është duali i tij Furje, në kuptimin që secili prej tyre është një transformim Furje i tjetrit. Nëse një ndryshore e rastit ka një funksion gjenerues të momenteve $M_{X}(t)$, atëherë domeni i funksionit karakteristik mund të zgjerohet në rrafshin kompleks dhe

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right],$

Qasja e funksionit karakteristik është veçanërisht e dobishme në analizën e kombinimeve lineare të ndryshoreve të pavarura të rastit: një provë klasike e Teoremës së Kufirit Qendror përdor funksione karakteristike dhe teoremën e vazhdimësisë së Levit . Një zbatim tjetër i rëndësishëm është teoria e dekompozueshmërisë së ndryshoreve të rastit.

Përkufizimi

Për një ndryshore të rastit skalare $X$, funksioni karakteristik përcaktohet si vlera e pritur e $e^{itX}$, ku $i$ është njësia imagjinare, dhe $t\in {\textbf {R}}$ është argumenti i funksionit karakteristik:

${\begin{cases}\displaystyle \varphi _{X}\!:\mathbb {R} \to \mathbb {C} \\\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f_{X}(x)\,dx=\int _{0}^{1}e^{itQ_{X}(p)}\,dp\end{cases}}$

Këtu $F_{X}$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së $X$, $f_{X}$ është funksioni korrespondues i densitetit të probabilitetit, $Q_{X}(p)$ është funksioni korrespondues i shpërndarjes mbledhse të anasjelltë i quajtur gjithashtu funksioni kuantil, dhe integralet janë të llojit Riemann–Stieltjes . Nëse një ndryshore e rastit $X$ ka një funksion të densitetit të probabilitetit, atëherë funksioni karakteristik është transformimi i tij Furier me ndryshim të shenjës në eksponencialin kompleks   . Kjo konventë për konstantet që shfaqen në përkufizimin e funksionit karakteristik ndryshon nga konventa e zakonshme për transformimin Furje. Për shembull, disa autorë përcaktojnë $\varphi _{X}(t)=E[e^{-2\pi itX}]$, që në thelb është një ndryshim i parametrit. Shënime të tjera mund të hasen në literaturë: ${\widehat {p}}$ si funksion karakteristik për një masë probabiliteti $p$, ose ${\widehat {f}}$ si funksion karakteristik që i përgjigjet një dendësie $f$ .

Përgjithësimet

• Nëse $X$ është një vektor i rastësishëm k -dimensional, atëherë për $t\in {\boldsymbol {R}}^{k}$ $\varphi _{X}(t)=E[e^{it^{T}X}]$
  $$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(it^{T}\!X)\right],$$
• Nëse $X$ është një -matricë e rastit $k\times p$ dimensionale, pastaj për $t\in {\boldsymbol {R^{k\times p}}}$$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {tr} (t^{T}\!X)\right)\right],$
  $$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {tr} (t^{T}\!X)\right)\right],$$
• Nëse $X$ është një ndryshore komplekse e rastit, atëherë për $t\in {\boldsymbol {C}}$ $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {Re} \left({\overline {t}}X\right)\right)\right],$
  $$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\operatorname {Re} \left({\overline {t}}X\right)\right)\right],$$
• Nëse $X$ është një vektor i rastit kompleks me dimension $k$, atëherë për $t\in {\boldsymbol {C}}^{k}$  $\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(i\operatorname {Re} (t^{*}\!X))\right],$
  $$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp(i\operatorname {Re} (t^{*}\!X))\right],$$

• Nëse $X(s)$ është një proces stokastik, atëherë për të gjitha funksionet $t(s)$ të tillë që integrali ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }t(s)X(s)\,\mathrm {d} s}$ konvergjon për pothuajse të gjitha realizimet e $X$
  $$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(i\int _{\mathbf {R} }t(s)X(s)\,ds\right)\right].$$

Shembuj

Shpërndarja	Funksioni karakteristik φ ( t )
E degjeneruar $\delta _{a}$	$e^{ita}$
Bernoulli ${\text{Ber}}(p)$	$1-p+pe^{it}$
Binomiale ${\text{B}}(n,p)$	$(1-p+pe^{it})^{n}$
Binomiale negative ${\text{NB}}(r,p)$	$\left({\frac {p}{1-e^{it}+pe^{it}}}\right)^{r}$
Poisson $\operatorname {Poisson} (\lambda )$	$e^{\lambda (e^{it}-1)}$
Uniforme (e vazhdueshme) $\operatorname {U} (a,b)$	${\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}$
Uniforme (diskrete) $\operatorname {DU} (a,b)$	${\frac {e^{ita}-e^{it(b+1)}}{(1-e^{it})(b-a+1)}}$
Laplace $\operatorname {L} (\mu ,b)$	${\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}$
Logjistike $\operatorname {Logistic} (\mu ,s)$	$e^{i\mu t}{\frac {\pi st}{\sinh(\pi st)}}$
Normale $\operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})$	$e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}$
Hi-katror $\chi _{k}^{2}$	$(1-2it)^{-k/2}$
Joqendror Chi-katror $\chi _{k}^{'2}$	$e^{\frac {i\lambda t}{1-2it}}(1-2it)^{-k/2}$
Cauchy $\operatorname {Cauchy} (\mu ,\theta )$	$e^{it\mu -\theta |t|}$
Gama $\Gamma (k,\theta )$	$(1-it\theta )^{-k}$
Eksponenciale $\operatorname {Exp} (\lambda )$	$(1-it\lambda ^{-1})^{-1}$
Gjeometrike $\operatorname {Geo} (p)$ (numri i dështimeve)	${\frac {p}{1-e^{it}(1-p)}}$
Gjeometrike $\operatorname {Geo} (p)$ (numri i provave)	${\frac {p}{e^{-it}-(1-p)}}$
Normale shumëndryshore $\operatorname {N} ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$	$e^{i{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}}-{\frac {1}{2}}\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }$
Cauchy shumëndryshore $\operatorname {MultiCauchy} ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$	$e^{i\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\mu }}-{\sqrt {\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} }}}$

Vetitë

• Funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit me vlera reale ekziston gjithmonë, pasi është një integral i një funksioni të vazhdueshëm të kufizuar mbi një hapësirë, masa e së cilës është e fundme.
• Një funksion karakteristik është uniformisht i vazhdueshëm në të gjithë hapësirën.
• Nuk zhduket në një rajon rreth zeros: $\varphi (0)=1$.
• Kufizohet: $|\varphi (t)|\leq 1$.
• Është hermitian : $\varphi (-t)={\overline {\varphi (t)}}$ . Në veçanti, funksioni karakteristik i një ndryshoreje të rastit simetrike (rreth origjinës) është me vlerë reale dhe çift .
• Ekziston një bijeksion midis shpërndarjeve të probabilitetit dhe funksioneve karakteristike. Kjo do të thotë, për çdo dy ndryshore të rastësishme $X_{1},X_{2}$ të dy kanë të njëjtën shpërndarje probabiliteti nëse dhe vetëm nëse $\varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}$ .
• Nëse një ndryshore e rastësishme $X$ ka momente deri në rendin $k$ -të, atëherë funksioni karakteristik $\varphi _{k}$ është $k$ herë i diferencueshëm vazhdimisht në të gjithë vijën reale. Në këtë rast
  $$\operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0).$$
• Nëse një funksion karakteristik $\varphi _{k}$ ka një derivat $k$ -të në zero, atëherë ndryshorja e rastit $X$ i ka të gjitha momentet deri në $k$ nëse $k$ është çift, por vetëm deri në $k-1$ nëse $k$ është tek.
  $$\varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]$$
• Nëse $X_{1},...,X_{n}$ janë ndryshore të pavarura të rastit, dhe $a_{1},...,a_{n}$ janë disa konstante, atëherë funksioni karakteristik i kombinimit linear të $X_{i}$ është $\varphi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).$
  $$\varphi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t).$$
  $\varphi _{X_{1}+X_{2}}(t)=\varphi _{X_{1}}(t)\cdot \varphi _{X_{2}}(t).$
• Le $X$ dhe $Y$ të jenë dy ndryshore të rastit me funksione karakteristike $\varphi _{X}$ dhe $\varphi _{Y}$ . $X$ dhe $Y$ janë të pavarur nëse dhe vetëm nëse $\varphi _{X,Y}(s,t)=\varphi _{X}(s)\varphi _{Y}(t)\quad {\text{për të gjitha }}\quad (s,t)\in \mathbb {R} ^{2}$ .
• Sjellja e bishtit të funksionit karakteristik përcakton butësinë e funksionit të densitetit përkatës.
• Lëreni ndryshoren e rastit $Y=aX+b$ të jetë transformimi linear i një ndryshoreje të rastit $X$ . Funksioni karakteristik i $Y$ është $\varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)$ . Për vektorët e rastit $X$ dhe $Y=AX+B$ (ku A është një matricë konstante dhe B një vektor konstant), kemi $\varphi _{Y}(t)=e^{it^{\top }B}\varphi _{X}(A^{\top }t)$ .