Teorema Qëndrore Limite

Në teorinë e probabilitetit, Teorema Qendrore Limite ( TQL ) përcakton se, në shumë situata, për ndryshoret e rastit të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike, shpërndarja e zgjedhjes së mesatares së standardizuar të kampionit priret drejt shpërndarjes normale standarde edhe nëse vetë ndryshoret origjinale nuk janë të shpërndara normalisht . .

Teorema është një koncept kyç në teorinë e probabilitetit sepse nënkupton që metodat probabiliste dhe statistikore që funksionojnë për shpërndarjet normale mund të jenë të zbatueshme për shumë probleme që përfshijnë lloje të tjera shpërndarjesh.

Një formë elementare e teoremës pohon si më poshtë. Le të tregojnë $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ një zgjedhje të rastësishme të $n$ vëzhgime të pavarura nga një popullatë me pritje matematike (mesatare) $\mu$ dhe variancë të fundme $\sigma ^{2}$, dhe le ${\bar {X}}_{n}$ shënoni mesataren e zgjedhjes së asaj zgjedhje (e cilanë vetvete është një ndryshore rasti ). Pastaj limiti kur n priret dert infinitit i shpërndarjes së ${\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma _{{\bar {X}}_{n}}}},$ ku $\sigma _{{\bar {X}}_{n}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},$ është shpërndarja normale standarde.

Me fjalë të tjera, supozoni se është marrë një popullim i madh vëzhgimesh, çdo vëzhgim është prodhuar rastësisht në një mënyrë që nuk varet nga vlerat e vëzhgimeve të tjera dhe se mesatarja (mesatarja aritmetike) e vlerave të vëzhguara është llogaritur. Nëse kjo procedurë kryhet shumë herë, duke rezultuar në një koleksion të mesatareve të vëzhguara, teorema qëndrore limite thotë se nëse madhësia e kampionit ishte mjaft e madhe, shpërndarja e probabilitetit të këtyre mesatareve do të përafrojë afërsisht një shpërndarje normale.

TQL ka disa variante. Në formën e saj të zakonshme, ndryshoret e rastit duhet të jenë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike (iid ). Kjo kërkesë mund të dobësohet; Konvergjenca e mesatares me shpërndarjen normale ndodh edhe për shpërndarje jo identike ose për vëzhgime jo të pavarura nëse ato përmbushin disa kushte.

Sekuenca të pavarura

Cilado qoftë forma e shpërndarjes së popullsisë, shpërndarja e kampionit priret në një shpërndarje gausiane dhe shpërndarja e saj jepet nga teorema qëndrore limite.

TQL klasike

Le të jetë$\{X_{1},\ldots ,X_{n}}\$ një seri e ndryshoreve të rastit iid që kanë një shpërndarje me pritjen matematike të dhënë nga $\mu$ dhe varianca e fundme e dhënë nga $\sigma ^{2}.$ Supozoni se jemi të interesuar për mesataren e mostrës

$${\bar {X}}_{n}\equiv {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}.$$

Sipas ligjit të numrave të mëdhenj, mesataret e kampionit konvergjojnë pothuajse me siguri (dhe për këtë arsye konvergjojnë gjithashtu në probabilitet) në pritjen matematike $\mu$ kur $n\to \infty .$

Dobia e teoremës është se shpërndarja e ${\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )$ i afrohet normalitetit pavarësisht nga forma e shpërndarjes së individit $X_{i}.$

 

Teorema Qëndrore Limite e Përgjithësuar

Teorema Qëndrore Limite e Përgjithësuar (TQLP) ishte një përpjekje e matematikanëve të shumtë (Berstein, Lindeberg, Lévy, Feller, Kolmogorov dhe të tjerë) gjatë periudhës nga 1920 deri në 1937. Prova e parë e botuar e plotë e TQLP ishte në 1937 nga Paul Lévy në frëngjisht. Një version në gjuhën angleze i provës së plotë të TQLP është i disponueshëm në përkthimin e librit të Gnedenko dhe Kollmogorov të vitit 1954.

Deklarata e TQLP është si më poshtë:

Një ndryshore e rastit jo e degjeneruar $Z$ është α-e qëndrueshme për disa $0<\alpha \leq 2$ nëse dhe vetëm nëse ka një seri të pavarur, të shpërndarë në mënyrë identike të ndryshoreve të rastit $X_{1},X_{2},X_{3}...$ dhe konstante $a_{n}>0{\text{ , }}b_{n}\in \mathbb {R}$ me

$a_{n}(X_{1}+...+X_{n})-b_{n}\to Z$

Këtu → do të thotë seria e shumave të rastit të ndryshoreve konvergjon në shpërndarje; dmth, shpërndarjet përkatëse plotësojnë$F_{n}(y)\to F(y)$ në të gjitha pikat e vazhdimësisë së $F$.

Me fjalë të tjera, nëse shumat e ndryshoreve të rastit të pavarura, të shpërndara identike konvergjojnë në shpërndarje në ndonjë $Z$, atëherë $Z$ duhet të jetë një shpërndarje e qëndrueshme .

Vërejtje

Vërtetimi i TQL klasike

Teorema Qëndrore Limite ka një vërtetim duke përdorur funksione karakteristike . Është e ngjashme me vërtetimin e ligjit (të dobët) të numrave të mëdhenj .

Supozoni se ${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$ janë ndryshore rasti të pavarura dhe të shpërndara identikisht, secila me mesatare ${\textstyle \mu }$ dhe variancë të fundme ${\textstyle \sigma ^{2}}$. Shuma ${\textstyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ka kuptim ${\textstyle n\mu }$ dhe variancë ${\textstyle n\sigma ^{2}}$. Merrni parasysh ndryshoren e rastit

$$Z_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i},$$

ku në hapin e fundit përcaktuam ndryshoret e reja të rastit ${\textstyle Y_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$, secila me zero mesatare dhe variancë njësi $D[Y]=1$. Funksioni karakteristik i ${\textstyle Z_{n}}$ jepet nga

$$\varphi _{Z_{n}}\!(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i}}}\!(t)\ =\ \varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\varphi _{Y_{2}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\cdots \varphi _{Y_{n}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\ =\ \left[\varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]^{n},$$

ku në hapin e fundit shfrytëzuam faktin se të gjitha të ${\textstyle Y_{i}}$ janë të shpërndara në mënyrë identike. Funksioni karakteristik i ${\textstyle Y_{1}}$ është, nga teorema e Taylor-it ,

$$\varphi _{Y_{1}}\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\!\left({\frac {t^{2}}{n}}\right),\quad \left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\to 0$$

ku ${\textstyle o(t^{2}/n)}$ është " shënimi o e vogël " për disa funksione të ${\textstyle t}$ që shkon në zero më shpejt se ${\textstyle t^{2}/n}$. Me kufirin e funksionit eksponencial (${\textstyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$), funksioni karakteristik i $Z_{n}$ barazohet

$$\varphi _{Z_{n}}(t)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right)^{n}\rightarrow e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}},\quad n\to \infty .$$

Të gjitha termat e rendeve më të larta zhduken në kufi ${\textstyle n\to \infty }$. Ana e djathtë është e barabartë me funksionin karakteristik të një shpërndarjeje normale standarde ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, që nënkupton nëpërmjet teoremës së vazhdimësisë së Levit që shpërndarja e ${\textstyle Z_{n}}$ do të afrohet ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$ si ${\textstyle n\to \infty }$. Prandaj, mesatarja e popullimit është:

$${\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}$$

është e tillë që

$${\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}({\bar {X}}_{n}-\mu )$$

konvergjon në shpërndarjen normale ${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$, nga e cila rrjedh teorema qëndrore limite.

Keqkuptime të zakonshme

Studimet kanë treguar se teorema qëndrore limite i nënshtrohet disa keqkuptimeve të zakonshme, por serioze, disa prej të cilave shfaqen në tekstet shkollore të përdorura gjerësisht. Këto përfshijnë besimet se:

• Teorema zbatohet për kampionimin e rastësishëm të çdo ndryshoreje, në vend të vlerave (ose shumave) mesatare të ndryshoreve të rastit iid të nxjerra nga një popullatë me kampionim të përsëritur. Kjo do të thotë, teorema supozon se kampionimi i rastit prodhon një shpërndarje kampionimi të formuar nga vlera të ndryshme të mesatareve (ose shumave) të ndryshoreve të tilla të rastit.
• Teorema siguron që kampionimi i rastit çon në shfaqjen e një shpërndarjeje normale për mostra mjaft të mëdha të çdo ndryshoreje të rastësishme, pavarësisht nga shpërndarja e popullsisë. Në realitet, një kampionim i tillë riprodhon në mënyrë asimptotike vetitë e popullatës, një rezultat intuitiv i mbështetur nga teorema Glivenko-Cantelli .
• Se teorema çon në një përafrim të mirë të një shpërndarjeje normale për madhësitë e mostrës më të mëdha se rreth 30, duke lejuar konkluzione të besueshme pavarësisht nga natyra e popullatës. Në realitet, ky rregull empirik nuk ka asnjë justifikim të vlefshëm dhe mund të çojë në përfundime me të meta serioze.

Lidhja me ligjin e numrave të mëdhenj

Ligji i numrave të mëdhenj si dhe teorema qëndrore limite janë zgjidhje të pjesshme për një problem të përgjithshëm: "Cila është sjellja kufizuese e S_n kur $n$ i afrohet pafundësisë?" Në analizën matematikore, seritë asimptotike janë një nga mjetet më të njohura të përdorura për t'iu qasur pyetjeve të tilla.

Supozoni se kemi një zgjerim asimptotik të ${\textstyle f(n)}$ :

$$f(n)=a_{1}\varphi _{1}(n)+a_{2}\varphi _{2}(n)+O{\big (}\varphi _{3}(n){\big )}\qquad (n\to \infty ).$$

Pjestimi i të dy pjesëve me $\varphi _{1}(n)$ dhe marrja e kufirit do të prodhojë $a_{1}$, koeficientin e termit të rendit më të lartë në zgjerim, i cili përfaqëson shpejtësinë me të cilën $f(n)$ ndryshon në termin e tij kryesor.

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{\varphi _{1}(n)}}=a_{1}.$$

Joformalisht, mund të thuhet: "$f(n)$ rritet afërsisht sa $a_{1}\varphi _{1}(n)$ ". Duke marrë ndryshesën midis $f(n)$ dhe përafrimit të tij dhe më pas duke e pjesëtuar me termin tjetër në zgjerim, arrijmë në një pohim më të rafinuar rreth $f(n)$ :

$$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)-a_{1}\varphi _{1}(n)}{\varphi _{2}(n)}}=a_{2}.$$

Këtu mund të thuhet se ndryshesa midis funksionit dhe përafrimit të tij rritet afërsisht si $a_{2}\varphi _{2}(n)$. Ideja është se ndarja e funksionit me funksionet e duhura normalizuese dhe shikimi i sjelljes kufizuese të rezultatit, mund të na tregojë shumë për sjelljen kufizuese të vetë funksionit origjinal.

Joformalisht, diçka përgjatë këtyre linjave ndodh kur shuma, $S_{n}$, e ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara identike, $X_{1},...,X_{n}$, studiohet në teorinë klasike të probabilitetit. Nëse çdo $X_{i}$ ka mesatare të fundme $\mu$, atëherë sipas ligjit të numrave të mëdhenj,

$${\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n}}}\to \xi ,$$

ku ξ shpërndahet si $N(0,\sigma ^{2})$. Kjo siguron vlerat e dy konstanteve të para në zgjerimin informal

$$S_{n}\approx \mu n+\xi {\sqrt {n}}.$$

$${\frac {S_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\rightarrow \Xi ,$$

ose joformalisht

$$S_{n}\approx a_{n}+\Xi b_{n}.$$

Shpërndarjet $\Xi$ të cilat mund të lindin në këtë mënyrë quhen të qëndrueshme . Është e qartë se shpërndarja normale është e qëndrueshme, por ka edhe shpërndarje të tjera të qëndrueshme, si shpërndarja Cauchy, për të cilat mesatarja ose varianca nuk janë të përcaktuara.

Aplikime dhe shembuj

Një shembull i thjeshtë i teoremës qëndrore limite është hedhja e shumë zareve identike dhe të paanshme. Shpërndarja e shumës (ose mesatares) e numrave të rrotulluar do të përafrohet mirë nga një shpërndarje normale. Meqenëse madhësitë e botës reale janë shpesh shuma e baraspeshuar e shumë ngjarjeve të rastit të pavëzhguara, teorema qëndrore limite ofron gjithashtu një shpjegim të pjesshëm për mbizotërimin e shpërndarjes normale të probabilitetit. Ajo gjithashtu justifikon përafrimin e statistikave të mostrave të mëdha me shpërndarjen normale në eksperimentet e kontrolluara.

Krahasimi i funksioneve të dendësisë së probabilitetit p(k) për shumën e n n zarave me 6 faqe për të treguar konvergjencën në një shpërndarje normale me rritjen e n, në përputhje me teoremën qëndrore limite. Në grafikun djathtas poshtë, profilet e lëmuara të grafeve të mëposhtëm janë të rishkallëzuara, të mbivendosur dhe të krahasur me një shpërndarje normale (kurba e zezë).

Kjo figurë tregon TQL. Mesataret e mostrës gjenerohen sipas rastësisë, e cila merr numra nga 0 deri në 100 me shpërndarje uniforme. Ilustron se rritja e mostrës rezulton që 500 mesataret e mostrave të jenë më afër të shpërndara rreth mesatares së popullatës (50 në këtë rast). Ajo gjithashtu krahason shpërndarjet e vëzhguara me shpërndarjet që do të priteshin për një shpërndarje gausiane të normalizuar dhe tregon vlerat hi-katror. Inputi në funksionin e normalizuar gausian është mesatarja e mesatareve të kampionit(~50) dhe mesatarja e shmangies standarde të mostrës e pjesëtuar me rrënjën katrore të madhësisë së mostrës (~28.87/Stampa:Sqrt), e cila quhet devijimi standard i mesatares.

Një tjetër simulim duke përdorur shpërndarjen binomiale. U gjeneruan 0 dhe 1 të rastësishëm dhe më pas u llogaritën mesataret e tyre për madhësitë e mostrës që variojnë nga 1 në 512. Vini re se ndërsa madhësia e kampionit rritet, bishtat bëhen më të hollë dhe shpërndarja bëhet më e përqendruar rreth mesatares.