Transformimi i Hilbertit

Në matematikë dhe përpunimin e sinjalit, transformimi i Hilbertit është një integral specifik njëjës që merr një funksion, u(t) të një ndryshoreje reale dhe prodhon një funksion tjetër të një ndryshoreje reale H(u)(t). Transformimi i Hilbertit jepet nga vlera kryesore Koshi e konvolucionit me funksionin $1/(\pi t)$ (shih § E ç'është transformimi i Hilbertit ). Transformimi i Hilbertit ka një paraqitje veçanërisht të thjeshtë në rrafshin e frekuencës : Ai jep një zhvendosje fazore prej ±90° ( π/2 radian) për çdo përbërës frekuence të një funksioni, shenjën e zhvendosjes në varësi të shenjës së frekuencës (shih § Marrëdhënia me transformimin e Furjesë ). Transformimi i Hilbertit është i rëndësishëm në përpunimin e sinjalit, ku është një përbërës i paraqitjes analitike të një sinjali me vlerë reale u(t) . Transformimi i Hilbertit u prezantua për herë të parë nga David Hilbert në këtë mjedis, për të zgjidhur një rast të veçantë të problemit Riemann-Hilbert për funksionet analitike.

E ç'është transformimi i Hilbertit

Transformimi i Hilbertit i u mund të konsiderohet si konvolucioni i u(t) me funksionin të njohur si bërthama e Hilbertit. Meqënëse funksioni 1/t nuk është i integrueshëm në pikën 0, integrali nuk konvergjon gjithmonë. Kështu transformimi i Hilbertit përcaktohet me anë të vlerës parësore Koshi (të shënuar me p.v)

$$\operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,$$

me kusht që ky integral të ekzistojë si vlerë parësore. Ky është pikërisht konvolucioni i u me shpërndarjen e kalitur p.v. $h(t)={\frac {1}{\pi t}}$.

$$\operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .$$

Kur transformimi Hilbert zbatohet dy herë radhazi mbi një funksion u, rezultati është

$$\operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),$$

Marrëdhënia me transformimin e Furjesë

Transformimi Hilbert është një operator shumëzues . Shumëzuesi i H është σ_H(ω) = −i sgn(ω), ku sgn është funksioni signum . Prandaj:

$${\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),$$

ku ${\mathcal {F}}$ tregon transformimin Furier. Meqenëse sgn(x ) = sgn(2 π x ), rrjedh se ky rezultat vlen për tre përkufizimet e zakonshme të ${\mathcal {F}}$ .

Sipas formulës së Euler-it, $$\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2},&{\text{for }}\omega <0,\\~~0,&{\text{for }}\omega =0,\\-i=e^{-i\pi /2},&{\text{for }}\omega >0.\end{cases}}$$

Tabela e transformimeve të përzgjedhura të Hilbertit

Në tabelën e mëposhtme, parametri i frekuencës $\omega$ është e vërtetë.

Sinjali $u(t)$	Transformimi i Hilbertit $\operatorname {H} (u)(t)$
$\sin(\omega t+\varphi )$	${\begin{array}{lll}\sin \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\sin \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}$
$\cos(\omega t+\varphi )$	${\begin{array}{lll}\cos \left(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)=\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega >0\\\cos \left(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left(\omega t+\varphi \right),\quad \omega <0\end{array}}$
$e^{i\omega t}$	${\begin{array}{lll}e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}$
$e^{-i\omega t}$	${\begin{array}{lll}e^{-i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega >0\\e^{-i\left(\omega t+{\tfrac {\pi }{2}}\right)},\quad \omega <0\end{array}}$
$1 \over t^{2}+1$	$t \over t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	${\frac {2}{\sqrt {\pi \,}}}F(t)$ (shiko funksioni i Dawsonit)
Funksioni sinc $\sin(t) \over t$	$1-\cos(t) \over t$
Funksioni delta i Dirakut $\delta (t)$	${1 \over \pi t}$
Funksioni tregues $\chi _{[a,b]}(t)$	${{\frac {1}{\,\pi \,}}\ln \left\vert {\frac {t-a}{t-b}}\right\vert }$