Lëkundjet e membranës elastike

Vibrimet e një daulleje rrethore ideale, e cila konsiston prej një membrane elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të ekuacionit të valës me kondita kufitare zero.

Ekziston një numër i pafundmë mënyrash sipas të cilave një daulleje mund të vibrojë, në varësi të formës së daulles në një kohë fillestare, dhe shpejtësisë së ndryshimit të formës së daulles në një kohë fillestare. Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, është e mundur të gjehet një koleksion i "thjeshtë" mënyrash vibrimi, si dhe mund të provohet se çdo vibrim sado kompleks i daulles mund të dekompozohet si një kombinim linear i vibrimeve më të thjeshta.

Problemi

Konsideroni një disk të hapur $\Omega$ me rreze $a$ me qendër në origjinën e daulles, i cili përfaqëson formën e fiksuar të daulles. Në çdo kohë $t,$ lartësia e formës së daulles tek një pikë $(x,y)$ në $\Omega$ e matur nga forma e "fiksuar" do të jepet nga $u(x,y,t),$ e cila mund të merret me vlera pozitive ose negative. Le $\partial \Omega$ të përfaqësojë kufirin e $\Omega ,$ pra, rrethi me rreze $a$ me qendër në origjinë, e cila përfaqëson një kornizë të palëvizshme në të cilën membrana e daulles është e fiksuar.

Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ per }}(x,y)\in \Omega \,

u=0{\text{ nga }}\partial \Omega .\,

Këtu, $c$ është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.

Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i koordinatave polare, $r$ dhe $\theta .$ Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,

u=0{\text{ per }}r=a.\,

Rasti me simetri rrezore

Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore. Në këtë rast, funksioni $u$ nuk varet tek këndi $\theta ,$ kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).

Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave, $u(r,t)=R(r)T(t).$ Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me $c^{2}R(r)T(t)$ marrim

{\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).

Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek $r,$ dhe ana e djathte nuk varet tek $t,$ kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante $K.$ Marrim kështu dy ekuacione për $T(t)$ dhe $R(r)$ :

T''(t)=Kc^{2}T(t)\,

rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,

Ekuacioni për $T(t)$ ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogëlohen në mënyre eksponenciale për $K>0,$ janë lineare ose konstante për $K=0,$ dhe janë periodike për $K<0.$ Fizikisht pritet që zgjidhja e problemit të daulles vibruese të jetë oshiluese në kohë, kështu që kjo lë vetëm rastin e tretë, $K<0,$ kur $K=-\lambda ^{2}$ për një numër $\lambda >0.$ Atëherë, $T(t)$ është një kombinim linear i funksioneve sinus dhe kosinus,

T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,

Duke u kthyer tek rasti i përgjithshëm për $R(r),$ me observimin që $K=-\lambda ^{2},$ dhe te gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni diferencial të rendit të dytë janë kombinime lineare të funksioneve Bezel të rendit 0,

R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,

Funksioni Bezel $Y_{0}$ nuk ka kufi për $r\to 0,$ kështu që kjo rezulton në një zgjidhje pa kuptim fizik për daullen vibruese, kjo do të thotë se konstantja $c_{2}$ duhet të jetë zero. Gjithashtu do supozojmë se $c_{1}=1,$ sepse kjo konstante mund të absorbohet lehte ne ndonjë konstante tjetër më vonë $A$ dhe $B$ që vinë nga $T(t).$ Nga kjo del që

R(r)=J_{0}(\lambda r).

Kërkesa që lartësia $u$ e membranës të jetë zero tek kufiri i daulles rezulton në konditën

R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.

Funksioni Bezel $J_{0}$ ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,

0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots

Nga kjo marrim $\lambda a=\alpha _{0n},$ për $n=1,2,\dots ,$ kështu që

R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).

Pra, zgjidhjet me simetri rrezore $u$ te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë

u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right)

for

n=1,2,\dots ,\,

ku $\lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.$

Rasti i përgjithshëm

Rasti i përgjithshëm, ku $u$ varet edhe tek këndi $\theta ,$ trajtohet në një mënyre shumë të ngjashme. Tani supozojmë se ekziston një zgjedhje ku variablat mund të ndahen,

u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,

Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim

{\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K

ku $K$ është një konstante. Si më parë, nga ekuacioni për $T(t)$ del që $K=-\lambda ^{2}$ me $\lambda >0$ dhe

T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,

Nga ekuacioni

{\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}

marrim, duke shumëzuar të dyja anët me $r^{2}$ dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim

\lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L

dhe

-{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,

për një konstante $L.$ Since $\Theta (\theta )$ është periodike, me periodë $2\pi ,$ $\theta$ e cila është një variabël këndore, nga kjo del që

\Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,

ku $m=0,1,\dots$ dhe $C$ dhe $D$ janë disa konstante. Kjo implikon që $L=m^{2}.$

Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për $R(r),$ zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i funksioneve Bezel $J_{m}$ dhe $Y_{m}.$ Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek

R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,

m=0,1,\dots ,

n=1,2,\dots ,

ku $\lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,$ me $\alpha _{mn}$ e cila është rrënja pozitive e $n$ -te e $J_{m}.$

Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës

u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )

për $m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots$ .

Shënim

Duhet theksuar se zgjidhja e mëlartme merr parasysh disa supozime ideale të cilat janë të inkarnuara në ekuacionin e valës. Një simulim kompjuterik i problemit te mësipërm do të ketë një gabim të caktuar (zakonisht rreth 5 %) në varësi te metodës së përdorur.