Bashkimi (teoria e bashkësive)

Bashkimi i dy bashkësive:
$~A\cup B$

Bashkimi i tre bashkësive:
$~A\cup B\cup C$

Bashkimi i A, B, C, D dhe E është gjithçka përveç zonës së bardhë.

Në teorinë e bashkësive, bashkimi (i shënuar me ∪) i një koleksioni të bashkësive është bashkësia e të gjithë elementëve në koleksion. Është një nga veprime themelore përmes të cilit bashkësitë mund të kombinohen dhe lidhen me njëra-tjetrën.

Për shpjegimin e simboleve të përdorura në këtë artikull, referojuni tabelës së simboleve matematikore .

Bashkimi i dy bashkësive

Bashkimi i dy bashkësive A dhe B është bashkësia e elementeve që janë në A, në B, ose në të dyja A dhe B . Në shënimin e ndërtuesit të grupeve ,

$A\cup B=\{x:x\in A{\text{ ose }}x\in B\}$ .

Për shembull, nëse A = {1, 3, 5, 7} dhe B = {1, 2, 4, 6, 7} atëherë A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Një shembull më i përpunuar (që përfshin dy grupe të pafundme) është:

A = {x është një numër i plotë çift më i madh se 1}

B = {x është një numër i plotë tek më i madh se 1}

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}$

Si shembull tjetër, numri 9 nuk gjendet në bashkimin e bashkësisë së numrave të thjeshtë {2, 3, 5, 7, 11, ...} dhe bashkësisë së numrave çift {2, 4, 6, 8, 10, ...}, sepse 9 nuk është as e thjeshtë as çift.

Bashkësitë nuk mund të kenë elementë dyshe, kështu që bashkimi i bashkësive {1, 2, 3} dhe {2, 3, 4} është {1, 2, 3, 4} . Shfaqjet e shumta të elementeve identike nuk kanë asnjë ndikim në kardinalitetin e një bashkësie ose përmbajtjen e tij.

Vetitë algjebrike

Bashkimi binar është një veprim shoqërues ; domethënë për çdo bashkësi $A,B,{\text{ dhe }}C$

$$A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.$$

Kështu, kllapat mund të hiqen pa paqartësi: secila nga sa më sipër mund të shkruhet si $A\cup B\cup C$. Gjithashtu, bashkimi është ndërrues, kështu që bashkësitë mund të shkruhen në çdo rend. Bashkësia boshe është një element identiteti për funksionimin e bashkimit. Kjo do të thotë, $A\cup \varnothing =A$ për çdo bashkësi $A$. Gjithashtu, veprimi i bashkimit është idempotent: $A\cup A=A$. Të gjitha këto veti rrjedhin nga fakte analoge rreth ndarjes logjike .

Prerja përdason mbi bashkimin

$$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$$

dhe bashkimi përdason mbi prerjen

$$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).$$

Bashkësia e fuqisë së një bashkësie $U$, së bashku me veprimet e dhëna nga bashkimi, kryqëzimi dhe plotësimi, është një algjebër e Bulit . Në këtë algjebër të Bulit, bashkimi mund të shprehet në terma të kryqëzimit dhe plotësimit me formulën

$$A\cup B=(A^{\complement }\cap B^{\complement })^{\complement },$$

ku mbishkrimi ${}^{\complement }$ tregon komplementin në bashkësinë universale U.