Vetia e ndërrimit

Paraqitje e vetisë ndërruese

  Në matematikë, një operacion binar është ndërrues nëse ndryshimi i renditjes së veprutasve nuk e ndryshon rezultatin. Është një veti themelore e shumë veprimeve binare, dhe shumë prova matematikore varen prej saj. Më i njohur si emri i vetisë që pohon diçka si "3 + 4 = 4 + 3" ose "2 × 5 = 5 × 2", vetia mund të përdoret gjithashtu në cilësime më të përparuara. Emri është i nevojshëm sepse ka veprime, të tilla si pjesëtimi dhe zbritja, që nuk e kanë atë (për shembull, "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); veprime të tilla nuk janë ndërruese, dhe kështu quhen veprime jondërruese . Ideja që veprimet e thjeshta, të tilla si shumëzimi dhe mbledhja e numrave, janë ndërruese, supozohej për shumë vite në mënyrë të nënkuptuar. Kështu, kjo veti nuk u emërtua deri në shekullin e 19-të, kur matematika filloi të zyrtarizohej. Një veti e ngjashme ekziston për marrëdhëniet binare ; një lidhje binare quhet simetrike nëse relacioni zbatohet pavarësisht nga radha e veprutasve të saj; për shembull, barazia është simetrike pasi dy objekte matematikore të barabarta janë të barabarta pavarësisht renditjes së tyre.

E ç'është vetia e ndërrimit?

Një veprim binar $*$ në një bashkësi S quhet ndërrues nëse

$$x*y=y*x\qquad {\mbox{për të gjitha }}x,y\in S.$$

Një veprim që nuk plotëson vetinë e mësipërme quhet jondërrues .

Njëri thotë se $x$ ndërron me $y$ ose se $x$ dhe $y$ lëvizin nën $*$ nëse

$$x*y=y*x.$$

Shembuj

Mbledhja e mollëve, e cila mund të shihet si një mbledhje e numrave natyrorë, është ndërruese.

Veprimet ndërruese

Mlbedhja e vektorëve është ndërruese, sepse ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$ .

• Mbledhja dhe shumëzimi janë ndërrues në shumicën e sistemeve të numrave, dhe, veçanërisht, midis numrave natyrorë, numrave të plotë, numrave racionalë, numrave realë dhe numrave kompleksë . Kjo është gjithashtu e vërtetë në çdo fushë .
• Mbledhja është ndërruese në çdo hapësirë vektoriale dhe në çdo algjebër .
• Bashkimi dhe kryqëzimi janë veprime ndërruese në bashkësi .
• " Dhe " dhe " ose " janë veprime logjike ndërruese.

Veprime jondërruese

Pjesëtimi, zbritja dhe ngritja në fuqi

Pjesëtimi është jondërrues, pasi $1\div 2\neq 2\div 1$ .

Zbritja është jondërruese, pasi $0-1\neq 1-0$ . Megjithatë klasifikohet më saktë si kundër-ndërruese, pasi $0-1=-(1-0)$ .

Eksponentimi është jondërrues, pasi $2^{3}\neq 3^{2}$ . Kjo veti çon në dy veprime të ndryshme "të anasjellta" të fuqisë (përkatësisht, veprimi i rrënjës me indeks <i id="mwcA">n</i> dhe operacioni i logaritmit ), i cili është i ndryshëm nga shumëzimi.

Shumëzimi i matricave

Shumëzimi matricor i matricave katrore është pothuajse gjithmonë jondërrues, për shembull:

${\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}$

Prodhimi vektorial

Produkti vektorial (ose prodhimi kryq ) i dy vektorëve në tre dimensione është kundërndërrues ; dmth, b × a = −( a × b ).