Ekuacionet e Hamilton-Jakobit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search

fizikë, ekuacioni i Hamilton–Jakobit (EHJ) është një riformulim i mekanikës klasike dhe, kjo do të thotë që, ai është ekuivalent me formulimet e tjera si ligjet e Njutonit, mekanikën e Lagranzhit dhe mekanikën e Hamiltonit. Ekuacioni i Hamilton–Jakobi është shumë i vlefshëm në identifikimin e madhësive të konservuara për sistemet mekanike, të cilat janë të mundura edhe në rastet kur problemi mekanik nuk mund të zgjidhet plotësisht.

EHJ gjithashtu është i vetmi formulim i mekanikës në të cilën lëvizja e një thërrmije mund të përshkruhet si një valë. Në këtë kuptim, EHJ plotësoi një synim shumë të gjatë të fizikës teorike (që nga koha e Johan Bernulit në shekullin e 18-te) për të gjetur një analogji mes propagimit të valës dhe lëvizjes të një thërrmije. Ekuacioni i valës për sistemet mekanike është i ngjashëm por jo identik me, ekuacionin e Shrodingerit, siç jepet më poshtë ; për këtë arsye, EHJ konsiderohet si "përafrimi më i afërt" i mekanikës klasike me mekaniken kuantike.

Formulimi matematik[redakto | përpunoni burim]

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është një ekuacion differencial pjesor jolinear i rendit të parë , për një funksion i quajtur funksioni principal i Hamiltonit

Siç përshkruhet më lart, ky ekuacion mund të derivohet nga mekanika e Hamiltonit duke trajtuar (veprimin) si funksionin gjenerues për një transformim kanonikfunksionit Hamiltonian klasik . Impulsi i konjuguar i korrespondon derivateve të para të në lidhje me koordinata e përgjithshme

të cilat mund të merren si më poshtë.
Ndryshimi i veprimit nga një shteg tek një shteg fqinj jepet nga

Meqenëse shtegjet e lëvizjes aktuale kënaqin ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, integrali në është zero. Tek termi i parë vendosim , dhe e quajmë vlerën e me . Duke zëvendësuar me , marrim

.

Nga ky relacion del se derivatet pjesoreveprimit në lidhje me koordinatat janë të barabarta me sasinë e lëvizjes (impulset) korrespondues.

Krahasimi me formulimet e tjera të mekanikës[redakto | përpunoni burim]

Notacioni[redakto | përpunoni burim]

Për thjeshtësi përdorim variabla me tekst të trashë si për të paraqitur listën e koordinatave të përgjithshme

që nuk transformohen si një vektor përgjatë një rrotullimi. Prodhimi skalar këtu është i përcaktuar si shuma e produkteve të komponenëve korrespondues , pra,

Derivimi[redakto | përpunoni burim]

Çdo transformim kanonik që përfshin një funksion gjenerues të tipit të dytë na çon tek relacionet

(Shikoni artikullin mbi transformimet kanonike për detaje të mëtejshme.)

Në mënyre që të derivojmë HJE, në zgjedhim një funksion gjenerues që prodhon funksion e ri Hamiltonian i cili është identikisht zero. Pra, të gjitha derivatet e tija janë zero gjithashtu, dhe ekuacionet e Hamiltonit bëhen shumë të lehta

pra, koordinatat dhe vrullet (vektorët e impulseve) të reja të përgjithshme janë konstantet e lëvizjes. Vrullet e reja të përgjithshme shpesh jepen nga , pra, .

HJE është një rezultat i transformimit të funksionit Hamiltonian

i cili është ekuivalent me EHJ

meqense .

Koordinatat e reja të përgjithshme janë gjithashtu konstante, ato tipikisht jepën nga . Pasi zgjedhim për , marrim disa ekuacione shumë të dobishme

të cilat i shkruajmë nëpërmjet komponentëve për më shumë qartësi

Idealisht, këto ekuacione mund të invertohen për të gjetur koordinatat e përgjithshme origjinale si një funksion i konstanteve dhe , kështu që në këtë mënyre i japim fund zgjidhjes së problemit.

Ndarja e variablave[redakto | përpunoni burim]

Shembuj në koordinatave sferike[redakto | përpunoni burim]

Hamiltoniani në koordinata sferike mund të shkruhet si

Ekuacioni i Hamilton–Jakobit është komplet i ndashëm në këto koordinata nqs merr formën

ku , dhe janë funksione arbitrare . Zëvendësimi i zgjedhjeve tek ekuacioni i HJ jep

Ky ekuacion mund të zgjidhet me integrime të njëpas njëshme të ekuacioneve diferenciale ordinere duke filluar me ekuacionin

ku është konstantja e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga ekuacioni i Hamilton–Jakobit

Ekuacioni tjetër diferencial përfshin koordinatat e përgjithshme

ku është prapë një konstante e lëvizjes e cila eliminon varësinë nga dhe e redukton ekuacionin në ekuacionin diferencial ordiner final.

integrimi i së cilit kompleton zgjidhjen e problemit për .

Shembuj në koordinata eliptike cilindrike[redakto | përpunoni burim]

Shembuj në koordinata parabolike cilindrike[redakto | përpunoni burim]

Perafrimi Ikonal dhe lidhja me ekuacionin e Shredingerit[redakto | përpunoni burim]

Ekuacioni i Hamilton-Jakobit në një fushe gravitacionale[redakto | përpunoni burim]

ku janë komponentët kontravarianttensorit të metrikës, m është masa e prehjes e thërrmijës dhe c është shpejtësia e dritës.

Shiko gjithashtu[redakto | përpunoni burim]

Referime[redakto | përpunoni burim]

  • Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826.
  • Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518.
  • A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0-486-43261-0. 
  • Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam ... Tokyo, 1975.