Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit

Në analizën e variacionit, ekuacioni i Ojler–Lagranzhit, ose ekuacioni i Lagranzhit është një ekuacion diferencial pjesor zgjidhjet e të cilit janë funksionet për të cilat funksionali është një pikë stacionare. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran Leonard Ojler dhe matematikani Franko-Italian Jozef Luiz Lagranzhi më 1750s.

Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga maksimumet ose minimumet lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të optimizimit në të cilat, kur jepet një funksional, ne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me teoremën e Fermat në analizë, e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, derivati i tij është zero.

Në mekanikën e Lagranzhit, për shkak te parimit të Hamiltonit të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjidhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për veprimin e sistemit. Në mekanikën klasike, kjo është ekuivalente me Ligjet e Njutonit, por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem koordinatash të përgjithshme, dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "Teorinë e fushës" më poshtë).

Historia

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në vitin 1750 nga Ojleri dhe Lagranzhi në studimin e tyre per problemin e tautokronës. Ky problem ka të bëjë me përcaktimin e kurbes përgjatë të cilës një thërrmijë do të bjerë në një pikë te fiksuar per një kohë të caktuar, pavaresisht nga pika fillestare.

Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me 1755 dhe ia dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek mekanika, e cila coi në formulimin alternativ të mekanikës. Korrespondenca e tyre coi në analizën e variacionit, një term i vendosur nga vetë Ojleri në 1766.

Pohimi

Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit është një ekuacion që kënaqet nga një funksion q i një argumenti real t i cili është një pikë stacionare e funksionalit

$\displaystyle S(q)=\int _{a}^{b}L(t,q(t),q'(t))\,\mathrm {d} t$

ku :

• q është funksioni që duhet gjetur :
• :${\begin{aligned}q\colon [a,b]\subset \mathbb {R} &\to X\\t&\mapsto x=q(t)\end{aligned}}$

i tille qe q është i diferencueshëm, q(a) = x_a, dhe q(b) = x_b;

• q′ është derivati i q:

  ${\begin{aligned}q'\colon [a,b]&\to TX\\t&\mapsto v=q'(t)\end{aligned}}$

TX ështe tufa e tangjenteve të X (hapësira e vlerave te mundshme te derivatit te funksioneve me vlera në X) ;

• L është një funksion real derivatet pjesore të rendit të parë të të cilit janë të vazhdueshme :

  ${\begin{aligned}L\colon [a,b]\times X\times TX&\to \mathbb {R} \\(t,x,v)&\mapsto L(t,x,v).\end{aligned}}$

Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një ekuacion diferencial i zakonshem

$L_{x}(t,q(t),q'(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{v}(t,q(t),q'(t))=0.$

ku L_x dhe L_v tregojnë derivatet pjesore te L ne lidhje me argumentet e parë dhe të tretë, respektivisht.

Nëqoftëse përmasat e hapësirës X janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :

${\frac {\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_{i}}}=0\quad {\text{for }}i=1,\dots ,n.$

Prova

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ajo mbështetet tek Lema themelore e analizës së variacionit.

Duam që të gjejmë një funksion $f$ i cili kënaq konditat kufitare f(a) = c, f(b) = d, dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit

$J=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.\,\!$

Marrim si hipotezë që F ka derivate të vazhdueshme të rendit të parë. Një hipotezë më e dobët mund të përdoret por në atë rast prova bëhet shumë më e vështire.

Neqoftese f merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i f që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje J (nqs f është një minimizues) ose ta zvogëloje J (nqs f është një maksimizues).

Le të jetë g_ε(x) = f(x) + εη(x) e tille që një perturbim i f, ku η(x) është një funksion i diferencueshem që kënaq η(a) = η(b) = 0. Atëherë përcaktojmë

$J(\epsilon )=\int _{a}^{b}F(x,g_{\epsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.\,\!$

Tani duam që të llogaritim derivatin e përgjithshëm te J në lidhje me ε

${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.$

Nga përcaktimi i derivatit te përgjithshëm del që

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}={\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial F}{\partial g'_{\varepsilon }}}{\frac {\partial g'_{\varepsilon }}{\partial \varepsilon }}=\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}.$

Kështu që

${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \epsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,dx.$

Kur ε = 0 ne kemi g_ε = f dhe meqenëse f është një vlere ekstreme del që J'(0) = 0, pra.

$J'(0)=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,dx=0.$

Hapi tjetër i rëndësishme është integrimi me pjesë mbi termin e dyte, i cili jep

$0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.$

Duke zbatuar kondiatat kufitare tek η, ne marrim

$0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.\,\!$

Duke zbatuar Lemen themelore të analizës së variacionit tani marrim ekuacionin e Ojler –Lagranzhit

$0={\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}.$

Provë alternative

Po te kemi një funksional

$J=\int _{a}^{b}F(t,y(t),y'(t))dt$

tek $C^{1}([a,b])$ me kondita kufitare $y(a)=A$ edhe $y(b)=B$, ne vazhdojmë duke përafruar kurbën ekstremale me një vije poligonale $n$ segmentesh duke kaluar në një limit kur kur numri i segmenteve rritet.

Tani pjesëtojmë intervalin $[a,b]$ në $n+1$ segmente të njëjta me pika kufitare $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n},t_{n+1}=b$ dhe le të jetë $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$. Në vend ten je funksoni të lëmuar $y(t)$ marrim ne considerate nje vije poligonale me vertekse $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n+1},y_{n+1})$, ku $y_{0}=A$ dhe $y_{n+1}=B$. Nga kjo, funksionali ynë behet një funksion real i $n$ variablave të dhëna nga

$J(y_{1},\ldots ,y_{n})=\sum _{k=0}^{n}F\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$

Extremalet e këtij funksionali të ri janë të përcaktuara ne pika diskret $t_{0},\ldots ,t_{n+1}$ që i korrespondojnë e pikave ku

${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$

Duke llogaritur këtë derivate pjesor marrim

${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$

Duke e pjesëtuar ekuacionin e mëlartëm me $\Delta t$ marrim

${\frac {\partial }{\partial y_{m}\Delta t}}=F_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[F_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-F_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$

dhe duke marrë limitin kur $\Delta t\to 0$ te anës së djathtë të shprehjes marrim

${\frac {\delta J}{\delta y}}=F_{y}-{\frac {d}{dt}}F_{y'}.$

Termi ${\frac {\delta J}{\delta y}}$ tregon derivatin variacional të funksionalit $J$, si dhe konditën e nevojshme për një funksional të diferecueshem që të ketë një ekstremum në një funksion është që derivati variacional i saj tek ai funksion zhduket.

Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler-Lagranzhit

Derivimi i ekuacionit një dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike në matematikë. Ai mbështetet tek lema themelore e analizës së variacionit. Duam të gjejmë një funksion $f$ i cili kënaq konditat kufitare $f(a)=A$, $f(b)=B$, si dhe minimizon koston (vlerën) e funskionalit $J=\int _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx.\,\!$ Hedhim hipotezën se $F$ ka derivate pjesore të para të vazhdueshme. Një hipotezë më e dobët mund të përdort por atëhere prova bëhet më e vështire. Nqs $f$ extremizon koston e funksionalit sipas konditave kufitare, atëhere cdo perturbim i $f$ që ruan vlerat kufitare duhet ose të rritë vlerën e $J$ (nqs $f$ është një minimizues) ose të zvogëlojë $J$ (nqs $f$ është një maksimizues). Le $g_{\epsilon }(x)=f(x)+\epsilon \eta (x)$ të jetë një perturbim i $f$, ku $\eta (x)$ është një funksion i diferencueshëm që kënaq barazimin $\eta (a)=\eta (b)=0$. Atëhere përcaktojmë $J_{\varepsilon }(x)=\int _{a}^{b}F(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx.\,\!$ Tani llogaritim derivatin e plotë të J në lidhje me ε ose variacionin e parë të J. ${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}F(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \epsilon }}(x,g_{\varepsilon }(x),g_{\varepsilon }'(x))\,dx$ Nga derivati i plotë dell se ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}+\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} g_{i}}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}$ ${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \varepsilon }}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {d} g_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F}{\partial g_{\epsilon }}}+{\frac {\mathrm {d} g'_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\partial F}{\partial g'_{\epsilon }}}$ ${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}.$ Pra ${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial g_{\varepsilon }'}}\,\right]\,dx.$ Kur ε = 0 we have gε = f dhe meqënëse f është një vlerë ekstremumi del që ${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}(0)=0$, i.e. ${\frac {\mathrm {d} J_{\varepsilon }}{\mathrm {d} \varepsilon }}(0)=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f}}+\eta '(x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\,\right]\,dx=0.$ Hapi tjetër është përdorimi i integrimit me pjesë tek termi i dytë i cili jep $0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx+\left[\eta (x){\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]_{a}^{b}.$ Duke përdorur konditat kufitare në η, marrim $0=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}\right]\eta (x)\,dx.\,\!$ Duke zbatuar lemën themelore të analizës së variacionit marrim ekuacionin e Ojler–Lagranzhit $0={\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}.$

Shembuj

Një shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerë reale në intervalin [a, b], i tillë që f (a) = c dhe f (b) = d, gjatësia e grafit të funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit të f është :

$\ell (f)=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x,$

Ku integrandi i funksionit është L(x, y, y′) = {{1 + y′²}} i vlerësuar tek (x, y, y′) = (x, f(x), f′(x)).

Derivatet pjesore të L janë :

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, ne marrim

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}=0\Rightarrow {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}}={\text{constant}}\Rightarrow f'(x)={\text{constant:}}$

Pra, funksioni duhet të ketë derivatin e parë konstant, kështu që grafi është një segment i një vije të drejtë.

Mekanika klasike

Metoda

Për trë gjetur ekuacionet e lrëvizjes prër njrë sistem duhet trë ndjekim krëto hapa:

• Nga energjia kinetike $T$, dhe energjia potencialey $V$, llogaritni funksionin Lagranzhian $L=T-V$.
• Llogarit ${\frac {\partial L}{\partial q}}$.
• Llogarit ${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$ dhe nga ajo , ${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$. Eshtë e rëndësishme që ${\dot {q}}$ të trajtohet si një variabël komplete dhe jo si një derivat.
• Barazoni ${\frac {\partial L}{\partial q}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$. Ky është ekuacioni i Ojler–Lagranzhit.
• Zgjidhni ekuacionin diferencial e marrë në hapin e mëlartëm. Pas kësaj, ${\dot {q}}$ trajtohet "normalisht". Vini re se mënyra e mëlartme mund të japi një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.

Thërrmijat në një fushë konservative

Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë konservative (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që veprimi të jetë stacionar, nga principi i Hamiltonit. Veprimi për këtë system është

$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t,\mathbf {x} (t),\mathbf {\dot {x}} (t))\,\mathrm {d} t$

Ku x(t) është pozicioni i thërrmijës në kohën t. Pika mbi variablat njihen si simbolika e Njutonit për derivatin kohor : pra ẋ(t) është shpejtësia e thërrmijës, v(t). Në ekuacionin më lart L është Funksioni i Lagranzhit (energjia kinetike minus energjinë potenciale) :

$L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}m\sum _{i=1}^{3}v_{i}^{2}-U(\mathbf {x} ),$

ku :

• m është masa e thërrmijës (e cila është konstante në fizikën klasike) ;
• v_i është komponneti i i-te i vektorit v ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
• U është potenciali i forcës konservative.

Në këtë rast, Lagrazhiani nuk ndyshon me argumentin e tij të parë t. (Nga Teorema e Nëdherit, simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë ligjeve të konservimit. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon konservimin e energjisë.)

Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të mësipërm, marrim :

${\frac {\partial L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}{\partial x_{i}}}=-{\frac {\partial U(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}=F_{i}(\mathbf {x} )\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(t,\mathbf {x} ,\mathbf {v} )}{\partial v_{i}}}=mv_{i}=p_{i},$

Ku forca F = −∇U (negativja e gradientit të potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe p është impulsi (vrulli).

Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,

$F_{i}(\mathbf {x} (t))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m{\dot {x}}_{i}(t)=m{\ddot {x}}_{i}(t),$

Të cilat mund të zgjidhen në një interval [t₀, t₁], po të kemi vlerat kufitare x_i(t₀) dhe x_i(t₁). Në notacionin vektorial, ky sistem merr formën

$\mathbf {F} (\mathbf {x} (t))=m\mathbf {\ddot {x}} (t)$

Ose, duke përdorur vrullin(impulsin),

$\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}$

Nga e cila marrim ligjin e dytë të Njutonit.

Teoria e fushës

Teoritë e fushës, si teoria klasike e fushës ashtu edhe teoria kuantike e fushës, merren me koordinata të vazhdueshme, dhe ashtu si në mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre të Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,

$\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.\,$

ku

$\psi \,$ është fusha, dhe

$\partial \,$ është një operator diferencial:

$\partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).\,$

Vini re : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si fusha e Dirakut, fusha e Ueylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim nëqoftëse të përdorim derivatin e djathtë ose të majtë të densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.

Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.

• Ekuacioni i Dirakut
• Ekuacioni i Prokës
• Tensori elektromagnetik
• Ekuacioni Korteweg–de Vries
• Elektrodinamika kuantike

Për funksionet me shumë ndryshore

Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me n ndryshore. Nëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë

$S=\int _{\Omega }L(f,x_{1},\dots ,x_{n},f_{x_{1}},\dots ,f_{x_{n}})\,\mathrm {d} \Omega \,\!$

Merr një ekstremum vetëm nese f e plotëson ekuacionin diferencial pjesor

${\frac {\partial L}{\partial f}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial L}{\partial f_{x_{i}}}}=0.\,\!$

Kur n = 2 dhe L është funksionali i energjisë, kjo con tek një problem i tipit te sipërfaqes minimale.

Shikoni gjithashtu

Identiteti i Beltramit

Referime

• Stampa:Mathworld
• Stampa:Planetmathref
• Izrail Moiseevish Gelfand (1963). Calculus of Variations. Dover. ISBN 0-486-41448-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• Calculus of Variations tek Example Problems.com (Jep shembuj të problemeve nga analiza e variacionit të cilat përfshijnë ekuacionet e Ojler-Lagranzhit.)