Ekuacionet e lëvizjes

Ekuacionet e levizjes janë ekuacione që përshkruajnë sjelljen e një sistemi (p.sh., lëvizjen e një grimce nën ndikimin e një force) në funksion të kohës ose pa kohën. Zakonisht termi i referohet ekuacioneve diferenciale që përshkruajnë sistemin (p.sh., Ligji i dytë i Njutonit ose ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), si dhe zgjidhjeve të ekuacioneve në fjalë. Për çdo trup në lëvizje analizimi i forcave jep një ekuacion të caktuar i cili përmban terma që lidhen me nxitimin dhe shpejtësinë e trupit që po studiohet. Bashkësia e këtyre ekuacioneve njihen me emrin e përgjithshëm si ekuacionet e lëvizjes.

Ekuacionet e lëvizjes drejtvizore të njëtrajtshme të përshpejtuara

Ekuacionet që vlejnë për trupat në lëvizje drejtvizore (në një dimension), me nxitim konstant janë të dhëna më poshtë . Pesë variablat janë të përfaqësuara nga ato letra (s = distanca, $v_{i}$ = shpejtësia fillestare, $v_{f}$= shpejtësia në fund të intervalit,a= nxitimi ,t = koha). Duhet të theksohet se në këtë notacion përdorim shkronjën r(range) për zhvendosjen e cila është madhësi vektoriale, dhe shkronjën s për distancën e cila është madhësi skalare.

Trupi analizohet mes dy çasteve kohore: në një pikë fillestare dhe në një pikë të tanishme (ose finale) . Problemet në kinematikë mund të merret në më shumë se dy caste, dhe disa zbatime të ekuacioneve janë të nevojshme në atë rast. Nëse a (nxitimi) është konstant, një diferencial , dt, mund të integrohet mbi një interval nga 0 në $\Delta t$ ($\Delta t=t_{f}-t_{i}$), për të marrë një marrëdhënie lineare për vektorin e shpejtësisë. Integrimi i vektorit të shpejtësisë jep një marrëdhënie kuadratike për pozicionin në fund të intervalit.

$v=v_{i}+a\Delta t\,$ $s=s_{i}+v_{i}\Delta t+{\tfrac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}\,$ $s=s_{i}+{\tfrac {1}{2}}(v+v_{i})\Delta t\,$ $v^{2}=v_{i}^{2}+2a(s-s_{i})\,$

ku ... $v_{i}\,$ është vektori fillestar i shpejtësisë $s_{i}\,$ është pozicioni fillestar i trupit dhe gjëndja e tanishme jepet nga : $v\,$, vektori i shpejtësisë në fund të intervalit $s\,$, pozicioni në fund të intervalit të (zhvendosjes) $\Delta t\,$, intervali kohor midis gjndjes fillestare dhe asaj të tanishme $a\,$, nxitimi konstant, ose në rastin e trupave nën influencën e gravitetit , g.

Vini re se secili nga ekuacionet ka katër nga pesë variablat e duhura. Pra në një situatë të tillë është e mjaftueshme të dimë tre nga variablat për të gjetur dy të tjerat.

Ekuacionet klasike

Ekuacionet e mëposhtme përshkruajnë lëvizjen drejtvizore me nxitim të pandryshueshëm këto ekuacione shkruhen në formën e mëposhtme :

${\begin{alignedat}{3}&v&&=v_{i}+at\qquad &{\text{(1)}}\\&s&&={\tfrac {1}{2}}(v_{i}+v)t\qquad &{\text{(2)}}\\&s&&=v_{i}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}\qquad &{\text{(3)}}\\&s&&=v_{f}t-{\tfrac {1}{2}}at^{2}\qquad &{\text{(4)}}\\&v^{2}&&=v_{i}^{2}+2as\qquad &{\text{(5)}}\\&a&&={\frac {v-v_{i}}{t}}\qquad &{\text{(6)}}\\\end{alignedat}}$

Duke zëvendësuar (1) tek (2), marrim (3), (4) dhe (5). (6) mund të merret duke rirregulluar (1).

ku

s = distanca midis pozicionit fillestar dhe atij final (zhvendosja) (në disa literatura mund ta gjeni si R ose x)

$v_{i}$ = shpejtësia fillestar (vlera e shpejtësisë në çdo drejtim)

$v_{f}$ = shpejtësia finale

a = nxitimi konstant

t = koha që duhet për të kaluar nga gjenda fillestare tek ajo përfundimtare

Shembuj

Shumë shembuj në kinematikë përfshinë studimin e predhës, për shembull një top i hedhur në ajër në një kënd të caktuar. Po të kemi vlerën e shpejtësisë fillestare $v_{i}$, ne mund të llogaritim se sa lart topi do të arrijë para se të bjerrë.

Nxitimi në këtë rast është nxitimi i fushës së rëndesës normale g. Tani duhet të vemë në dukje faktin se këto madhësi janë madhësi skalare, drejtimi i zhvendosjes, vlerës së shpejtësisë dhe nxitimit janë të rëndësishme . Po të zgjedhim s si simbolin për matjen e distancës nga dheu, nxitimi a duhet të jetë −g, meqënëse forca e gravitetit vepron drejt qendrës së tokës .

Tek pika më e lartë topi do qëndrojë në prehje: pra $v_{f}$ = 0. Duke përdorur ekuacionin e pestë , marrime:

$s={\frac {v_{f}^{2}-v_{i}^{2}}{-2g}}.$

Zgjerime

Versione më të zgjeruara të këtyre ekuacioneve përfshijnë madhësinë Δs , ku zhvendosja përcaktohet si diferenca e vektorit fillestar të zhvendosjes me atë final (s − $s_{i}$), $s_{i}$ për pozicionin fillestar të trupit , si dhe përdorimin e $v_{f}$ për shpejtësinë finale dhe $v_{i}$ për shpejtësinë fillestare (initial) që simbolet të jenë më konsistente.

$v_{f}=v_{i}+at\,$

$s=s_{i}+{\tfrac {1}{2}}(v_{i}+v_{f})t\,$

$s=s_{f}+v_{i}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}\,$

$v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+2a\Delta s\,$

$s=s_{i}+v_{f}t-{\tfrac {1}{2}}at^{2}\,$

Duke zhvendosur termat brenda dhe eliminuar shenjën minus marrim:

$H={\frac {v_{i}^{2}}{2g}}.$

Lidhje të jashtme

• Ekuacionet e lëvizjes