Jump to content

Funksioni i gjenerimit të momentit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni i gjenerimit të momentit të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.

Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i n- të rreth 0 është derivati i n -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.

E ç'na qënka ky funksion?

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë një ndryshore e rastit me FMSH . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i (ose ), e shënuar me , përcaktohet si

me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një e tillë që për të gjithë , ekziston . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston. [1]

Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të është pritshmëria e ndryshores së rastit . Në përgjithësi, kur , një vektori i rastit -dimensional, dhe është një vektor fiks, përdoret në vend të  :

ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me 1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.

Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes. [2] Zgjerimi i serisë së është

Prandaj

ku eshte momenti . Diferencimi i herë në lidhje me dhe vendosja , marrim momentin e -të rreth origjinës, .

Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit kur kjo e fundit ekziston.

Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:

  • Për një funksion mase të probabilitetit diskret,
  • Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm,
  • Në rastin e përgjithshëm: , duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i , por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.

Vini re se për rastin kur ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm , është transformimi i Laplasit i dyanshëm të .

Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse ndryshorja e rastit ka funksion gjenerues të momentit , pastaj ka funksion gjenerues të momentit

  1. ^ Casella, George; Berger, Roger L. (1990). Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole. fq. 61. ISBN 0-534-11958-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ Bulmer, M. G. (1979). Principles of Statistics. Dover. fq. 75–79. ISBN 0-486-63760-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)