Funksioni i gjenerimit të momentit
Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni i gjenerimit të momentit të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.
Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i n- të rreth 0 është derivati i n -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.
E ç'na qënka ky funksion?
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Le të jetë një ndryshore e rastit me FMSH . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i (ose ), e shënuar me , përcaktohet si
me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një e tillë që për të gjithë në , ekziston . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston. [1]
Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të është pritshmëria e ndryshores së rastit . Në përgjithësi, kur , një vektori i rastit -dimensional, dhe është një vektor fiks, përdoret në vend të :
ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me 1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.
Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes. [2] Zgjerimi i serisë së është
Prandaj
ku eshte momenti . Diferencimi i herë në lidhje me dhe vendosja , marrim momentin e -të rreth origjinës, .
Shembuj
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit kur kjo e fundit ekziston.
Llogaritja
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:
- Për një funksion mase të probabilitetit diskret,
- Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm,
- Në rastin e përgjithshëm: , duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i , por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.
Vini re se për rastin kur ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm , është transformimi i Laplasit i dyanshëm të .
Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Nëse ndryshorja e rastit ka funksion gjenerues të momentit , pastaj ka funksion gjenerues të momentit
- ^ Casella, George; Berger, Roger L. (1990). Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole. fq. 61. ISBN 0-534-11958-1.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Bulmer, M. G. (1979). Principles of Statistics. Dover. fq. 75–79. ISBN 0-486-63760-3.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)