Funksioni periodik

Një ilustrim i një funksioni periodik me pikë $P.$

Një funksion periodik i quajtur gjithashtu një formë vale periodike (ose thjesht valë periodike ), është një funksion që përsërit vlerat e tij në intervale ose periudha të rregullta. Pjesa e përsëritshme e funksionit ose formës valore quhet cikël . Për shembull, funksionet trigonometrike, të cilat përsëriten në intervale prej $2\pi$ radianësh janë funksione periodike. Funksionet periodike përdoren në të gjithë shkencën për të përshkruar lëkundjet, valët dhe dukuri të tjera që shfaqin periodicitet. Çdo funksion që nuk është periodik quhet joperiodik ose aperiodik.

Përkufizimi

Një funksion f quhet periodik nëse, për një konstante P jozero, vlen barazimi

$f(x+P)=f(x)$

për të gjitha vlerat e x në domen. Një konstante P jozero për të cilën është kështu quhet periodë e funksionit. Nëse ekziston konstantja më e vogël pozitive P me këtë veti, ajo quhet periudha themelore (gjithashtu periudha primitive, periudha bazë ose periudha kryesore). Shpesh, "perioda" e një funksioni përdoret për të nënkuptuar periodën e tij themelore. Një funksion me periodë P do të përsëritet në intervale me gjatësi P, dhe këto intervale nganjëherë referohen edhe si perioda të funksionit.

Shembuj

Një grafik i funksionit sinus, që tregon dy perioda të plota

Shembuj të numrave realë

Funksioni sinus është periodik me periodë $2\pi$, pasi

$\sin(x+2\pi )=\sin x$

për të gjitha vlerat e $x$ . Ky funksion përsëritet në intervale të gjatësisë $2\pi$ (shih grafikun në të djathtë).

Shembujt e përditshëm shihen kur ndryshorja është koha ; për shembull akrepat e një ore ose fazat e hënës tregojnë sjellje periodike. Lëvizja periodike është lëvizje në të cilën pozicionet e sistemit janë të shprehura si funksione periodike, të gjitha me të njëjtën periodë.

Shembuj të numrave kompleks

Duke përdorur variabla komplekse kemi funksionin e përbashkët të periudhës:

$e^{ikx}=\cos kx+i\,\sin kx.$

Vetitë

Funksionet periodike mund të marrin disa vlera shumë herë. Më konkretisht, nëse një funksion $f$ është periodike me periodë $P$, pastaj për të gjithë $x$ në fushën e $f$ dhe të gjithë numrat e plotë pozitivë $n$ ,

$f(x+nP)=f(x)$

Nëse $f(x)$ është një funksion me periodë $P$, atëherë $f(ax)$, ku $a$ është një numër real jo zero i tillë që $ax$ është në domenin e $f$, është periodik me periudhë ${\textstyle {\frac {P}{a}}}$ . Për shembull, $f(x)=\sin(x)$ ka periodë $2\pi$ dhe, prandaj, $\sin(5x)$ do të ketë periodë ${\textstyle {\frac {2\pi }{5}}}$ .

Disa funksione periodike mund të përshkruhen nga seritë Fourier . Për shembull, për funksionet <i id="mwoA">L</i> <sup id="mwoQ">2</sup>, teorema e Carleson-it thotë se ato kanë një seri pikësore ( Lebegu ) pothuajse kudo konvergjente të Furierit. Seritë Furier mund të përdoren vetëm për funksione periodike, ose për funksione në një interval të kufizuar (kompakt). Nëse $f$ është një funksion periodik me periudhë $P$ që mund të përshkruhet nga një seri Furier, koeficientët e serisë mund të përshkruhen nga një integral mbi një interval gjatësi $P$ .

Çdo funksion që përbëhet vetëm nga funksione periodike me të njëjtën periodë është gjithashtu periodik (me periudhë të barabartë ose më të vogël), duke përfshirë:

• mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit të funksioneve periodike, dhe
• duke marrë një fuqi ose një rrënjë të një funksioni periodik (me kusht që të përcaktohet për të gjithë $x$ ).