Lavjerrësi sferik

Një lavjerrës sferik është një përgjithësim i lavjerrësit. Ai përbehet nga një masë që leviz pa fërkim në një sferë. Forca e vetme që vepron mbi masën janë forca e kundërveprimit nga sfera dhe forca e gravitetit.

Zakonisht ketu perdoren kordinatatat sferike per pershkrimin e pozicionit te mases ne termat te $(r,\theta ,\phi )$, ku r eshte e fiksuar.

Lagranzhiani eshte

$L={\frac {1}{2}}mr^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgr\cos \theta .$

Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit jep

${\frac {d}{dt}}\left(mr^{2}{\dot {\theta }}\right)-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}+mgr\sin \theta =0$

and

${\frac {d}{dt}}\left(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}\right)=0$

e cila tregon që momenti kendor eshte nje madhesi e konservuar.

Funksioni Hamiltonian në këtë rast është

$H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L$

ku

$P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}$

dhe

$P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta$