Përafrimi linear

Drejtëza tangjente në $(a,f(a))$

Në matematikë, një përafrim linear është një përafrim i një funksioni të përgjithshëm duke përdorur një funksion linear (më saktë, një funksion afin ). Ato përdoren gjerësisht në metodën e diferencave të fundme për të prodhuar metoda të rendit të parë për zgjidhjen ose përafrimin e zgjidhjeve të ekuacioneve.

Përkufizimi

Jepet një funksion dy herë vazhdimisht i diferencueshëm $f$ i një ndryshoreje reale, teorema e Taylor-it për rastin $n=1$ deklaron se

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$$

ku $R_{2}$ është kufiza e mbetur. Përafrimi linear merret duke hedhur pjesën e mbetur:

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Ky është një përafrim i mirë kur $x$ është mjaft afër $a$; pasi një lakore, kur vëzhgohet nga afër, do të fillojë të ngjajë me një vijë të drejtë. Prandaj, shprehja në anën e djathtë është vetëm ekuacioni për vijën tangjente me grafikun e $f$ në $(a,f(a))$ . Për këtë arsye, ky proces quhet edhe përafrimi i vijës tangjente . Përafrimet lineare në këtë rast përmirësohen më tej kur derivati i dytë i $a$, $f''(a)$, është mjaft i vogël (afër zeros) (d.m.th., në ose afër një pike infleksioni ).

Përafrimet lineare për funksionet vektoriale të një ndryshoreje vektoriale merren në të njëjtën mënyrë, me derivatin në një pikë të zëvendësuar nga matrica Jakobiane . Për shembull, duke pasur parasysh një funksion të diferencueshëm $f(x,y)$ me vlera reale mund të përafrohen $f(x,y)$ për $(x,y)$ afër me $(a,b)$ sipas formulës

$$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$$

Zbatimet

Optika

Optika Gausiane është një teknikë në optikën gjeometrike që përshkruan sjelljen e rrezeve të dritës në sistemet optike duke përdorur përafrimin paraksial, në të cilin merren parasysh vetëm rrezet që bëjnë kënde të vogla me boshtin optik të sistemit. Në këtë përafrim, funksionet trigonometrike mund të shprehen si funksione lineare të këndeve. Optika Gaussian zbatohet për sistemet në të cilat të gjitha sipërfaqet optike janë ose të sheshta ose janë pjesë të një sfere.

Perioda e lëkundjes

Perioda e lëkundjes së një lavjerrësi të thjeshtë varet nga gjatësia e tij, nxitimi i rënies së lirë vendor dhe në një masë të vogël nga këndi maksimal që lavjerrësi lëkundet nga vertikali, $\theta _{0}$, i quajtur amplitudë . Ai është i pavarur nga masa e bobit. Perioda e vërtetë $T$ e një lavjerrësi të thjeshtë, koha e marrë për një cikël të plotë të një lavjerrës ideal të gravitetit të thjeshtë, mund të shkruhet në disa forma të ndryshme (shih lavjerrësin ), një shembull është seria e pafundme :

$$T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)$$

ku L është gjatësia e lavjerrësit dhe g është nxitimi vendor i gravitetit .

Megjithatë, nëse merret përafrimi linear (dmth nëse amplituda është e kufizuar në lëkundje të vogla, ) periudha është:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}{\text{ , }}\theta _{0}<<1$Stampa:NumBlk

Rezistenca elektrike

Rezistenca elektrike e shumicës së materialeve ndryshon me temperaturën. Nëse temperatura $T$ nuk ndryshon shumë, zakonisht përdoret një përafrim linear:

$$\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$$

ku $\alpha$ quhet koeficienti i temperaturës së rezistencës, $T_{0}$ është një temperaturë referencë fikse (zakonisht temperatura e dhomës), dhe $\rho _{0}$ është rezistenca në temperaturën $T_{0}$ . Parametri $\alpha$ është një parametër empirik i përshtatur nga të dhënat e matjes. Për shkak se përafrimi linear është vetëm një përafrim, $\alpha$ është e ndryshme për temperatura të ndryshme reference. Për këtë arsye është e zakonshme të specifikohet temperatura që $\alpha$ u mat në me një prapashtesë, si p.sh $\alpha _{15}$, dhe marrëdhënia qëndron vetëm në një sërë temperaturash rreth referencës. Kur temperatura ndryshon në një interval të madh temperaturash, përafrimi linear është i pamjaftueshëm dhe duhet përdorur një analizë dhe kuptim më i detajuar.