Paralelopipedi

Paralelopiped

Lloji	Prizma Plesioedron
Faqet	6 paralelograme
Brinjët	12
Kulmet	8
Grupi i simetrisë	<i id="mwIg">C</i> <sub id="mwIw"><i id="mwJA">i</i></sub>, [2 ⁺ ,2 ⁺ ], ( × ), rendit 2
Vetitë	konveks, zonohedron

Në gjeometri, një paralelopiped është një figurë tre-dimensionale e formuar nga gjashtë paralelograme (termi romboid gjithashtu përdoret ndonjëherë me këtë kuptim). Për analogji, ai lidhet me një paralelogram ashtu si një kub lidhet me një katror . ^[a]

Janë tre përkufizime të njëvlerëshme të paralelepipedit

një gjashtëkëndor me tre palë faqe paralele,
një shumëfaqësh me gjashtë faqe ( gjashtëkëndësh ), secila prej të cilave është një paralelogram, dhe
një prizëm baza e të cilit është një paralelogram .

Kuboidi drejtkëndor (gjashtë faqe drejtkëndëshe ), kubi (gjashtë faqe katrore ) dhe rombohedroni (gjashtë faqe rombi ) janë të gjitha raste specifike të paralelopipedit.

Vëllimi

Një paralelipiped është një prizëm me bazë një paralelogram. Prandaj vëllimi $V$ i një paralelopipedi është prodhimi i sipërfaqes bazë $B$ dhe lartësinë $h$ (shih diagramin). Me:

$B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|$ (ku $\gamma$ është këndi ndërmjet vektorëve $\mathbf {a}$ dhe $\mathbf {b}$ ), dhe
$h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|$ (ku $\theta$ është këndi ndërmjet vektorit $\mathbf {c}$ dhe normalja me bazën), merret formula:

$V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.$ Prodhimi i përzier i tre vektorëve quhet prodhim i trefishtë . Mund të përshkruhet nga një përcaktor . Prandaj për $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},$ vëllimi është:

$V={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$ Stampa:NumBlkNjë mënyrë tjetër për të vërtetuar pohimin e mësipërm është përdorimi i përbërësit skalar në drejtim të $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ të vektorit $\mathbf {c}$ : ${\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _{\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{aligned}}$ Rezultati vijon.

Një paraqitje alternative e vëllimit përdor vetëm vetitë gjeometrike (këndet dhe gjatësitë e skajeve):

$V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}$ Stampa:NumBlkku $\alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ , $\beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$ , $\gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ , dhe $a,b,c$ janë gjatësitë e brinjëve.

Sipërfaqja

Sipërfaqja e një paralelepipedi është shuma e sipërfaqeve të paralelogrameve kufizuese: ${\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}$

↑ In Euclidean geometry, the four concepts—parallelepiped and cube in three dimensions, parallelogram and square in two dimensions—are defined, but in the context of a more general affine geometry, in which angles are not differentiated, only parallelograms and parallelepipeds exist.

Gabim citimi: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>

[1] In Euclidean geometry, the four concepts—parallelepiped and cube in three dimensions, parallelogram and square in two dimensions—are defined, but in the context of a more general affine geometry, in which angles are not differentiated, only parallelograms and parallelepipeds exist.

[a]