Shpërndarja e qëndrueshme

Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarje quhet e qëndrueshme nëse një kombinim linear i dy ndryshoreve të rastit të pavarura me këtë shpërndarje ka të njëjtën shpërndarje, deri në parametrat e vendndodhjes dhe shkallës . Një ndryshore e rastit quhet e qëndrueshme nëse shpërndarja e saj është e qëndrueshme. Familja e shpërndarjeve të qëndrueshme nganjëherë quhet edhe shpërndarja alfa-stabile Lévy, pas Paul Lévy, matematikani i parë që e ka studiuar atë.

E ç'është shpërndarja e qëndrueshme?

Një shpërndarje jo e degjeneruar është një shpërndarje e qëndrueshme nëse plotëson vetinë e mëposhtme:

Le të jenë X₁ and X₂ dy realizime të pavarura të një ndryshoreje rasti X. Atëherë X thuhet se është e qëndrueshme nëse për çdo konstante a > 0 dhe b > 0 ndryshorja e rastit aX₁ + bX₂ ka të njëjtën shpërndarje si cX + d për disa konstante c > 0 dhe d. Shpërndarja thuhet se është strikt e qëndrueshme nëse kjo vlen për d = 0.

Meqenëse shpërndarja normale, shpërndarja Cauchy dhe shpërndarja Lévy të gjitha e kanë vetinë e mësipërme, rrjedh se ato janë raste të veçanta të shpërndarjeve të qëndrueshme.

Funksioni karakteristik $\varphi (t)$ i çdo shpërndarje probabiliteti është transformimi Furier i funksionit të dëndësisë së probabilitetit të tij $f(x)$ . Prandaj, funksioni i dëndësisë është transformimi i anasjelltë i Furierit i funksionit karakteristik:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t)e^{-ixt}\,dt.$$

Megjithëse funksioni i dëndësisë së probabilitetit për një shpërndarje të përgjithshme të qëndrueshme nuk mund të shkruhet në mënyrë analitike, funksioni i përgjithshëm karakteristik mund të shprehet në mënyrë analitike. Një ndryshore e rastit $X$ quhet e qëndrueshme nëse funksioni i saj karakteristik mund të shkruhet si

$$\varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)$$

ku $\operatorname {sgn}(t)$ është vetëm shenja e t dhe

$$\Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}$$

μ ∈ R është një parametër zhvendosjeje, $\beta \in [-1,1]$, i quajtur parametri i anshmërisë, është një masë e asimetrisë. Vini re se në këtë kontekst anshmëria e zakonshme nuk është e përcaktuar mirë, si për $\alpha <2$ shpërndarja nuk pranon momentet e 2-të ose më të larta, dhe përkufizimi i zakonshëm i anshmërisë është momenti i tretë qendror .

Vetitë

• Të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme janë pafundësisht të pjestueshme .
• Me përjashtim të shpërndarjes normale ( $\alpha =2$ ), shpërndarjet e qëndrueshme janë shpërndarje leptokurtotike dhe me bisht të rëndë.
• Mbyllja nën konvolucion