Sfera e Blokut: Dallime mes rishikimesh
[Redaktim i kontrolluar] | [Redaktim i kontrolluar] |
Lidhje të jashtme të shpëtuara: 0 Lidhje të jashtme të etiketuara si të vdekura: 1) #IABot (v2.0.8.5 |
Smallem (diskuto | kontribute) Etiketa: Reverted |
||
Rreshti 9: | Rreshti 9: | ||
== Kubiti == |
== Kubiti == |
||
Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje <math>\psi</math> mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e [[vektoreve ket]] <math> |0 \rangle</math> dhe <math>|1 \rangle </math> ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e <math> |0 \rangle</math> të jenë reale dhe jo-negative. Pra <math>\psi</math> ka një paraqitje si |
Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje <math>\psi</math> mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e [[vektoreve ket]] <math> |0 \rangle</math> dhe <math>|1 \rangle </math> ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e <math> |0 \rangle</math> të jenë reale dhe jo-negative. Pra <math>\psi</math> ka një paraqitje si |
||
:<math> |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^ |
:<math> |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^__L_CURLY__i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta \,|1 \rangle </math> |
||
me |
me |
||
:<math> 0 \leq \theta < \ |
:<math> 0 \leq \theta < \frac__L_CURLY__\pi__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.</math> |
||
Përveç rastit ku <math>\psi</math> është një nga vektoret ket <math> |0 \rangle</math> ose <math> |1 \rangle</math>, kjo paraqitje është unike, pra. parametrat <math>\phi \,</math> dhe <math>\theta \,</math> specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane <math>\ |
Përveç rastit ku <math>\psi</math> është një nga vektoret ket <math> |0 \rangle</math> ose <math> |1 \rangle</math>, kjo paraqitje është unike, pra. parametrat <math>\phi \,</math> dhe <math>\theta \,</math> specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane <math>\mathbb__L_CURLY__R__R_CURLY__^__L_CURLY__3__R_CURLY__</math>, nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës <math>(x,y,z)</math> janë |
||
:<math> \ |
:<math> \begin__L_CURLY__matrix}x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end__L_CURLY__matrix__R_CURLY__</math> |
||
== Një përgjithësim për gjendjet e pastra == |
== Një përgjithësim për gjendjet e pastra == |
||
Rreshti 20: | Rreshti 20: | ||
'''Teoreme'''. Le [[U(N)|U(''n'')]] të jetë një [[grup Lie]] i matricave unitare me përmase ''n''. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të ''H''<sub>''n''</sub> mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte |
'''Teoreme'''. Le [[U(N)|U(''n'')]] të jetë një [[grup Lie]] i matricave unitare me përmase ''n''. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të ''H''<sub>''n''</sub> mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte |
||
:<math> \ |
:<math> \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n) /(\operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n-1) \times \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(1)). </math> |
||
Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një [[veprim grupi]][[transformim natyror|natyral]] te U(''n'') në bashkësine e gjendjeve të ''H''<sub>''n''</sub>. Ky veprim është i vazhdueshëm dhe [[tranzitiv]] ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, [[grupi izotrop]] i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve ''g'' të U(''n'') e tillë që ''g'' ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit |
Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një [[veprim grupi]][[transformim natyror|natyral]] te U(''n'') në bashkësine e gjendjeve të ''H''<sub>''n''</sub>. Ky veprim është i vazhdueshëm dhe [[tranzitiv]] ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, [[grupi izotrop]] i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve ''g'' të U(''n'') e tillë që ''g'' ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit |
||
:<math> \ |
:<math> \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n-1) \times \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(1). </math> |
||
Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo ''g'' e U(''n'') që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një [[ajgenvektor]]. Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(''n'' - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte. |
Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo ''g'' e U(''n'') që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një [[ajgenvektor]]. Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(''n'' - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte. |
||
Rreshti 31: | Rreshti 31: | ||
Tani [[dimensioni]] (real) i U(''n'') është ''n''<sup>2</sup>. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial |
Tani [[dimensioni]] (real) i U(''n'') është ''n''<sup>2</sup>. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial |
||
:<math> A \mapsto e^ |
:<math> A \mapsto e^__L_CURLY__i A}</math> |
||
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(''n''). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension ''n''<sup>2</sup>. |
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(''n''). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension ''n''<sup>2</sup>. |
||
Versioni i datës 8 tetor 2022 13:06
Në mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në mënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.
Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirën e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në veçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë. Çdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në mënyre mutuale një çifti gjëndjesh ekskluzive të një thërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.
Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study.
Kubiti
Në mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket dhe ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e të jenë reale dhe jo-negative. Pra ka një paraqitje si
- Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^__L_CURLY__i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta \,|1 \rangle }
me
- Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle 0 \leq \theta < \frac__L_CURLY__\pi__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.}
Përveç rastit ku është një nga vektoret ket ose , kjo paraqitje është unike, pra. parametrat dhe specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle \mathbb__L_CURLY__R__R_CURLY__^__L_CURLY__3__R_CURLY__} , nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës janë
- Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \begin__L_CURLY__matrix}x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end__L_CURLY__matrix__R_CURLY__}
Një përgjithësim për gjendjet e pastra
Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore Hn. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcaktimit bashkësia e rrezeve 1-dimensionale të Hn.
Teoreme. Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të Hn mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte
- Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n) /(\operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n-1) \times \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(1)). }
Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të Hn. Ky veprim është i vazhdueshëm dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit
- Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(n-1) \times \operatorname__L_CURLY__U__R_CURLY__(1). }
Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor. Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte.
Fakti i rëndësishëm këtu është që grupet unitare veprojnë në mënyre transitive në gjendjet e pastra.
Tani dimensioni (real) i U(n) është n2. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial
- Nuk e kuptoj (Gabim sintakse): {\displaystyle A \mapsto e^__L_CURLY__i A}}
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2.
Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të Hn është 2n − 2.
Në fakt,
Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një regjistri kuantik me m kubite është 2m+1 − 2.
Gjeometria e operatoreve të densitetit
Referime
- Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement[lidhje e vdekur]", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) pp.9-16.
- Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)
- Singer, Stephanie Frank (2005). Linearity, Symmetry, and Prediction in the Hydrogen Atom. New York: Springer. ISBN 0-387-24637-1.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)