Entropia e informacionit

Në teorinë e informacionit, entropia e një ndryshoreje të rastit është niveli mesatar i "informacionit", "befasisë" ose "pasigurisë" i natyrshëm për rezultatet e mundshme të ndryshores. Jepet një ndryshore e rastit diskrete $X$, e cila merr vlera në bashkësinë ${\mathcal {X}}$ dhe shpërndahet sipas $p\colon {\mathcal {X}}\to [0,1]$ :

$$\mathrm {H} (X):=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log p(x)=\mathbb {E} [-\log p(X)],$$

ku $\Sigma$ tregon shumën mbi vlerat e mundshme të ndryshores. Zgjedhja e bazës për $\log$, logaritmi, ndryshon për zbatime të ndryshme. Baza 2 jep njësinë e biteve (ose " shannons "), ndërsa baza e jep "njësi natyrore" nat, dhe baza 10 jep njësi "dits", "bans" ose " hartleys ". Një përkufizim i njëvlershëm i entropisë është vlera e pritur e vetë-informimit të një ndryshoreje.

Dy bite entropie: Në rastin e dy hedhjeve të ndershme të monedhave, entropia e informacionit në bit është logaritmi bazë-2 i numrit të rezultateve të mundshme; me dy monedha ka katër rezultate të mundshme dhe dy pjesë entropie. Në përgjithësi, entropia e informacionit është sasia mesatare e informacionit të përcjellë nga një ngjarje, kur merren parasysh të gjitha rezultatet e mundshme.

Koncepti i entropisë së informacionit u prezantua nga Claude Shannon në punimin e tij të vitit 1948 " A Mathematical Teory of Communication ", dhe referohet gjithashtu si entropia Shannon .

Entropia në teorinë e informacionit është drejtpërdrejt analoge me entropinë në termodinamikën statistikore . Analogjia rezulton kur vlerat e ndryshores së rastësishme përcaktojnë energjitë e mikrogjendjeve, kështu që formula e Gibbs-it për entropinë është zyrtarisht identike me formulën e Shannon-it. Entropia ka lidhje me fusha të tjera të matematikës si kombinatorika dhe mësimi makinerik . Përkufizimi mund të rrjedhë nga një grup aksiomash që vërtetojnë se entropia duhet të jetë një masë se sa informative është rezultati mesatar i një ndryshoreje. Për një ndryshore të rastit të vazhdueshme, entropia diferenciale është analoge me entropinë.

E ç'është entropia e informacionit?

I emëruar sipas teoremës Η të Boltzmann-it, Shannon përcaktoi entropinë $H$ (gërma e madhe greke eta ) të një ndryshoreje diskrete tërastit. ${\textstyle X}$, e cila merr vlera në alfabet ${\mathcal {X}}$ dhe shpërndahet sipas $p:{\mathcal {X}}\to [0,1]$ sikurse $p(x):=\mathbb {P} [X=x]$ :

$$\mathrm {H} (X)=\mathbb {E} [\operatorname {I} (X)]=\mathbb {E} [-\log p(X)].$$

Këtu $\mathbb {E}$ është operatori i pritjes matematike, dhe I është përmbajtja e informacionit të $X$ $\operatorname {I} (X)$ është në vetvete një ndryshore e rastit.

Entropia mund të shkruhet shprehimisht si:

$$\mathrm {H} (X)=-\sum _{x\in {\mathcal {X}}}p(x)\log _{b}p(x),$$

Mund të përcaktohet gjithashtu entropia e kushtëzuar e dy ndryshoreve $X$ dhe $Y$ duke marrë vlera nga bashkësitë ${\mathcal {X}}$ dhe ${\mathcal {Y}}$ përkatësisht, si:

$$\mathrm {H} (X|Y)=-\sum _{x,y\in {\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}}p_{X,Y}(x,y)\log {\frac {p_{X,Y}(x,y)}{p_{Y}(y)}},$$

ku $p_{X,Y}(x,y):=\mathbb {P} [X=x,Y=y]$ dhe $p_{Y}(y)=\mathbb {P} [Y=y]$ . Kjo madhësi duhet të kuptohet si rastësia e mbetur në ndryshoren e rastit $X$ duke pasur parasysh ndryshoren e rastit $Y$ .

Shembull

Entropia $\operatorname {H} (X)$ (dmth surpriza e pritshme ) e një rrotullimi të monedhës, e matur në bit, e grafikuar kundrejt paragjykimit të monedhës $\operatorname {Pr} (X=1)$, ku X = 1 përfaqëson një rezultat të kokave.

Këtu, entropia është më së shumti 1 bit dhe për të komunikuar rezultatin e një rrokullisjeje monedhe (2 vlera të mundshme) do të kërkojë një mesatare prej më së shumti 1 bit (saktësisht 1 bit për një monedhë të drejtë). Rezultati i një die të drejtë (6 vlera të mundshme) do të kishte regjistrin e entropisë ₂ 6 bit.

Merrni parasysh hedhjen e një monedhe me probabilitete të njohura, jo domosdoshmërisht të ndershme, për të dalë kokë ose pil; ky mund të modelohet si një proces Bernoulli .

Entropia e rezultatit të panjohur të hedhjes tjetër të monedhës maksimizohet nëse monedha është e ndershme (d.m.th., nëse koka dhe pili kanë të dyja probabilitet të barabartë 1/2). Kjo është situata e pasigurisë maksimale pasi është më e vështirë të parashikohet rezultati i hedhjes së radhës; rezultati i çdo hedhjeje të monedhës jep një pjesë të plotë të informacionit. Kjo është për shkak se

$${\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-\sum _{i=1}^{n}{p(x_{i})\log _{b}p(x_{i})}\\&=-\sum _{i=1}^{2}{{\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {1}{2}}}\\&=-\sum _{i=1}^{2}{{\frac {1}{2}}\cdot (-1)}=1\end{aligned}}$$

Megjithatë, nëse e dimë se monedha nuk është e drejtë, por del lart ose bisht me probabilitete p dhe q, ku p ≠ q, atëherë ka më pak pasiguri. Sa herë që hidhet, njëra anë ka më shumë gjasa të dalë lart se tjetra. Pasiguria e reduktuar matet në një entropi më të ulët: mesatarisht çdo hedhje e monedhës jep më pak se një pjesë të plotë të informacionit. Për shembull, nëse p = 0.7, atëherë

$${\begin{aligned}\mathrm {H} (X)&=-p\log _{2}(p)-q\log _{2}(q)\\&=-0.7\log _{2}(0.7)-0.3\log _{2}(0.3)\\&\approx -0.7\cdot (-0.515)-0.3\cdot (-1.737)\\&=0.8816<1\end{aligned}}$$