Integrali jo elementar

Në matematikë, një integrali i pacaktuar joelementar i një funksioni elementar të dhënë është një integral i pacaktuar që nuk është, në vetvete, një funksion elementar (d.m.th. një funksion i ndërtuar nga një numër i kufizuar herësish konstante, algjebrike, eksponenciale, trigonometrike dhe logaritmike . funksionet duke përdorur veprimet mbi fusha ). ^[1] Një teoremë nga Liouville në 1835 dha provën e parë se ekzistojnë integralet e pacaktuar jo-elementarë. ^[2] Kjo teoremë gjithashtu ofron një bazë për algoritmin Risch për përcaktimin (me vështirësi) se cilat funksione elementare kanë intelgrale të pacaktuara elementare.

Shembuj[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shembuj të funksioneve me integrale të pacaktuar jo-elementarë përfshijnë:

${\sqrt {1-x^{4}}}$ ^[1] ( integral eliptik )
${\frac {1}{\ln x}}$ ^[3] ( integrali logaritmik )
$e^{-x^{2}}$ ^[1] ( funksioni i gabimit, integrali gaussian )
$\sin(x^{2})$ dhe $\cos(x^{2})$ ( Integrali Fresnel )
${\frac {\sin(x)}{x}}=\operatorname {sinc} (x)$ ( integrali i sinusit, integral Dirichlet )
${\frac {e^{-x}}{x}}$ ( integrali eksponencial )
$e^{e^{x}}\,$ (në kufiza të integralit eksponencial)
$\ln(\ln x)\,$ (përsa i përket integralit logaritmik)
${x^{c-1}}e^{-x}$ ( funksioni i paplotë gama ); për $c=0,$ integrali i pacaktuar mund të shkruhet në terma të integralit eksponencial; për $c={\tfrac {1}{2}},$ për sa i përket funksionit të gabimit; për $c=$ çdo numër të plotë pozitiv, integrali i pacaktuar është elementar.

Vetitë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Integralet e pacaktuara jo-elementare shpesh mund të vlerësohen duke përdorur serinë e tyre të Tejlorit . Edhe nëse një funksion nuk ka integral të pacaktuar elementar, seria e tij Tejlor mund të integrohet gjithmonë kufizë pas kufize si një polinom, duke dhënë funksionin e integruar si një seri Tejlori me të njëjtën rreze konvergjence . Megjithatë, edhe nëse i integrueshmi ka një seri Tejlori konvergjente, sekuenca e tij e koeficientëve shpesh nuk ka formulë elementare dhe duhet të vlerësohet term pas termi, me të njëjtin kufizim për serinë integrale të Tejlorit.

Edhe nëse nuk është e mundur të vlerësohet një integral i pacaktuar në terma elementare, gjithmonë mund të përafrohet një integral i caktuar korrespondues me integrim numerik . Ka gjithashtu raste kur nuk ka integral të pacaktuar elementar, por integrale specifike të përcaktuara (shpesh integrale të papërshtatshme mbi intervale të pakufizuara ) mund të vlerësohen në terma elementare: më e famshmja integrali Gaussian me shprehjen ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.}$

Mbyllja nën integrimin e bashkësisë të funksioneve elementare është bashkësia e funksioneve Liouvilliane .

^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.
^ Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton. fq. 119. ISBN 978-0-691-13626-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.

[Weisstein-1] Weisstein, Eric W. "Elementary Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ElementaryFunction.html From MathWorld Accessed 24 Apr 2017.

[2] Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton. fq. 119. ISBN 978-0-691-13626-4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Impossibility theorems for elementary integration; Brian Conrad. Clay Mathematics Institute: 2005 Academy Colloquium Series. Accessed 14 Jul 2014.

[1]

[2]

[3]