Momenti i Inercisë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Momenti i inercise, i njohur gjithashtu si mase moment i inercisë ose masa këndore, (njësite në SI kg m2), është koncepti analog i masës për trupa në rrotullim. Ndyshe ai mund të kuptohet si inercia e një trupi të ngurtë në rrotullim në lidhje me pikën e rrotullimit. Moment i inercisë luan të njëjtin rol në lëvizjen rrotulluese që masa luan në dinamikën e thjeshte, kjo madhësi përcakton lidhjet mes momentit këndor dhe shpejtësisë këndore, krahut të forcës dhe nxitimit këndor, si dhe shume madhësive të tjera. Edhe pse një trajtim i thjeshtë skalar i momentit të inercisë mjafton për një pjesë të mirë rastesh, një trajtim më i avancuar i bazuar në analizën tensoriale duhet të bëhet për sisteme më të komplikuar si për trupat rrotullues apo për lëvizjen xhiroskopike.

Simboli ose ndonjëherë përdoren zakonisht për të treguar momentin e inercisë.

Momenti i inercisë u paraqit për herë të parë nga Ojleri në librin e tij Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum në 1730. Në këtë libër, ai diskuton me detaje të shumta momentin e inercisë dhe koncepte të tjera të si, akset principale të inercisë, të cilat kanë të bëjnë me momentin e inercisë.

Nje shikim i përgjithshëm[redakto | redakto tekstin burimor]

Momenti skalar i inercisë[redakto | redakto tekstin burimor]

Përcaktimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Nje përcaktim i thjeshte i momentit të inercisë së çdo objekti, qoftë ai i një pikë lëndore apo një strukturë 3-dimensionale, jepet nga :

ku

m është masa,
dhe r është distance (pingule) e pikës lëndore nga boshti i rrotullimit.

Një analizim i detajuar[redakto | redakto tekstin burimor]

Momenti (skalar) i inercisë i një pikë lëndore që rrotullohet rreth një aksi jepet nga

.

Momenti i inercise eshte aditiv. Pra, per nje trup të ngurtë që konsiston nga pika lëndore me distanca nga boshti i rrotullimit, moment total i inercisë është i barabartë më shumën e momenteve të inercisë së pikave lëndore:

Për një trup të ngurtë që përshkruhet nga një funksion densiteti të vazhdueshem të masës ρ(r), moment i inercise rreth një aksi të njohur mund te llogaritet duke integruar katrorin e distances (të peshuar nga densiteti i masës) nga një pikë e trupit deri tek bosti i rrotullimit:

ku

V është volume i zënë nga objekti.
ρ është funksioni i densitetit hapesinore të objektit dhe
janë kordinatat e pikës brenda trupit.
Diagram për llogaritjen e momentit të inercise për një disk. Ketu k eshte 1/2 dhe r është rrezja që përdoret për përcaktimin e momentit.

Vetem duke u bazuar n analizen dimensionale , shikojmë se moment i inercise in je trupi qe nuk mund te modelohet si pikë lendore duhet të marre formën:

ku

M është masa
R është rrezja e objektit nga qendra e mases (ne disa raste , gjatesia e objektit perdoret.)
k është nje konstate pa dimensione e quajtur konstantja e inercise e cila varjon per objektin qe merret ne konsiderate.

Konstantet inerciale përdoren për të marrë parasysh diferencat në vendosjen e masës nga qëndra e rrotullimit. Disa shembuj janë:

  • k = 1, unazë e hollë ose cilinder me mure shumë të holla rreth qëndrës së tij,
  • k = 2/5, sfere e ngurte rreth qendres
  • k = 1/2, cylinder i ngurtë ose disk rreth qëndrës.

Per shembuj te tjere ,shikoni Lista e momenteve të inercisë.

Teorema e aksit parallel[redakto | redakto tekstin burimor]

Red right arrow.svg
 Artikulli kryesor: Teorema e aksit parallel .

Trupat e përbërë[redakto | redakto tekstin burimor]

Ekuacione që përfshine momentin e inercisë[redakto | redakto tekstin burimor]

Tensori i momentit te inercise[redakto | redakto tekstin burimor]

Percaktimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Per nje object te ngurte te perbere nga pika lendore , tensori i momentit te inercise jepet nga

.

Komponentet e saj percaktohen si

ku

i, j jane te barabarta me 1, 2, or 3 per x, y, and z, respektivisht,
rk eshte distanca e mases k rreth pikes nga e cila llogaritet tensori, dhe
eshte delta e Kronekerit.

Elementet e diagonals mund te shkruhen ne menyre me te permbledhur si

Kurse elementet jashte diagonales, qe njihen si produktet e inercise, jane

and

Ketu jep momentin e inercise rreth bushtit- kur objektet rrotullohen rreth aksit-x, tregon momentin e inercise rreth aksit- kur objektet rrotullohen rreth aksit-, e keshtu me rradhe.

Keto madhesi mund te pergjithesohen tek nje object me nje densitet constant ne nje menyre te ngjashme me momentin skalar te inercise. Tani marrim

ku eshte produkti i jashtem, E3 eshte 3 &here; 3 matrica njesi, dhe V eshte nje rajon i hapesires qe e permban komplet objektin.

Derivimi i komponenteve te tensorit[redakto | redakto tekstin burimor]

Distanca e nje therrmije tek nga boshti i rrotullimit qe kalon permes origjines ne drejtimin e eshte . Duke perdorur formulen (dhe pak algjeber te thjeshte vektoriale) del se momenti i inercise e kesaj therrmije (rreth boshtit te rrotullimit qe kalon nga origjina ne drejtimin ) eshte Kjo eshte nje formë kuadratike dhe, pas disa manipulimesh algjebrike, kjo con tek nje formule tensoriale per momentin e inercise

.

Kjo eshte formula ekzakte e dhene me poshte per momentin e inercise ne rastin e nje therrmije te vetme. Per shume therrmija duhet te kujtojme qe momenti i inercise eshte aditiv ne menyre qe te veme re qe kjo formule eshte korrekte.

Reduktimi ne nje madhesi skalare[redakto | redakto tekstin burimor]

Momentet principale te inercise[redakto | redakto tekstin burimor]

Teorema e aksit parallel[redakto | redakto tekstin burimor]

Madhesi te tjera mekanike[redakto | redakto tekstin burimor]

Shikoni gjithashtu[redakto | redakto tekstin burimor]

Referenca[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Systems and Particles, 4th. ed., Thomson. ISBN 0-03-097302-3

Lidhje te jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]