Shndërrimi i Cayley
Në matematikë, transformimi Cayley, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga Cayley (1846) , transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë (Nikolski 1988) .
Homografia reale
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .
Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:
Homografia komplekse
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:
Meqënëse është hartuar në , dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuar në planin kompleks, harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga është një homeomorfizëm dhe është marrë në 0 nga , gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .
Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.
Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .
Homografia e kuaternioneve
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Në hapësirën katërdimensionale të kuaternioneve , versorët
- formojnë 3-sferën njësi .
Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është
Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku është zero ose , respektivisht. Me sa duket transformimi merr dhe merr .
Duke vlerësuar këtë homografi në harton versorin në boshtin e saj:
Por
Kështu
Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le në identitetin e numrit kompleks [1]
ku ana e djathtë është transformimi i dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me radianë negativë.
I anasjellti
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Le të jetë Meqënëse
ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e është
Harta matricore
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Midis n × n matricave katrore mbi numrat realë, me I matricën identitare, le të jetë A çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që A T = − A ).
Pastaj I+ A është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley
prodhon një matricë ortogonale, Q (në mënyrë të tillë që Q T Q = I ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e Q më sipër është ndërrues, kështu që Q mund të përkufizohet në mënyrë alternative si . Në fakt, Q duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.
Anasjelltas, le të jetë Q çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë
është një matricë anore-simetrike. Kushti në Q përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.
Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) Q mund të shkruhet si
për disa matricë anore-simetrike A ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale Q mund të shkruhet si
Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu, [2] [3] që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,
Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur; [4] [5] megjithatë, A udhëton gjithmonë me (μ I ± A ) −1, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.
Shembuj
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Në rastin 2×2, kemi
Matrica e rrotullimit 180°, − I, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan θ ⁄ 2 shkon në pafundësi.
Në rastin 3×3, kemi
ku K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2, dhe ku w = 1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit
- ^ See Tangent half-angle formula
- ^ Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (bot. 3rd), Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
{{citation}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ F. Chong (1971) "A Geometric Note on the Cayley Transform", pages 84,5 in A Spectrum of Mathematics: Essays Presented to H. G. Forder, John C. Butcher editor, Auckland University Press
- ^ Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, vëll. 1 (bot. 1st English), New York: Wiley-Interscience, fq. 536, 7, ISBN 978-0-471-50447-4
{{citation}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!) - ^ Howard Eves (1966) Elementary Matrix Theory, § 5.4A Cayley’s Construction of Real Orthogonal Matrices, pages 365–7, Allyn & Bacon