Jump to content

Shndërrimi i Cayley

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

matematikë, transformimi Cayley, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga Cayley (1846), transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë (Nikolski 1988) .

Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .

Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:

Homografia komplekse

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Transformimi Cayley i gjysmë rrafshit kompleks të sipërm në diskun njësi

Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:

Meqënëse është hartuar në , dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuarplanin kompleks, harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga është një homeomorfizëm dhe është marrë në 0 nga , gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .

Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.

Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .


Homografia e kuaternioneve

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

hapësirën katërdimensionalekuaternioneve , versorët

formojnë 3-sferën njësi .

Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është

Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku është zero ose , respektivisht. Me sa duket transformimi merr dhe merr .

Duke vlerësuar këtë homografi në harton versorin në boshtin e saj:

Por

Kështu

Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le në identitetin e numrit kompleks [1]

ku ana e djathtë është transformimi i dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me radianë negativë.

Le të jetë Meqënëse

ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e është

Midis n × n matricave katrore mbi numrat realë, me I matricën identitare, le të jetë A çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që A T = − A ).

Pastaj I+ A është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley

prodhon një matricë ortogonale, Q (në mënyrë të tillë që Q T Q = I ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e Q më sipër është ndërrues, kështu që Q mund të përkufizohet në mënyrë alternative si . Në fakt, Q duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.

Anasjelltas, le të jetë Q çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë

është një matricë anore-simetrike. Kushti në Q përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.

Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) Q mund të shkruhet si

për disa matricë anore-simetrike A ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale Q mund të shkruhet si

Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu, [2] [3] që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,

Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur; [4] [5] megjithatë, A udhëton gjithmonë me (μ I ± A ) −1, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.

Në rastin 2×2, kemi

Matrica e rrotullimit 180°, − I, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan θ2 shkon në pafundësi.

Në rastin 3×3, kemi

ku K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2, dhe ku w = 1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit

  1. ^ See Tangent half-angle formula
  2. ^ Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (bot. 3rd), Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ F. Chong (1971) "A Geometric Note on the Cayley Transform", pages 84,5 in A Spectrum of Mathematics: Essays Presented to H. G. Forder, John C. Butcher editor, Auckland University Press
  4. ^ Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, vëll. 1 (bot. 1st English), New York: Wiley-Interscience, fq. 536, 7, ISBN 978-0-471-50447-4 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  5. ^ Howard Eves (1966) Elementary Matrix Theory, § 5.4A Cayley’s Construction of Real Orthogonal Matrices, pages 365–7, Allyn & Bacon