Homeomorfizmi

Një shaka matematikore e përsëritur shpesh është se topologët nuk mund të bëjnë dallimin midis një filxhani kafeje dhe një donuti, meqenëse një donut mjaftueshëm i lakueshëm mund të riformohet në formën e një filxhani kafeje duke krijuar një gropë dhe duke e zmadhuar gradualisht atë, duke ruajtur vrimën e donutit në dorezën e filxhanit. Kjo ilustron se një filxhan kafeje dhe një donut ( torus ) janë homeomorfikë.

Në matematikë dhe më konkretisht në topologji, një homeomorfizëm ( nga rrënjët greke që do të thotë "formë e ngjashme", i emërtuar nga Henri Poincaré ), i quajtur gjithashtu izomorfizëm topologjik, ose funksion i dyvazhdueshëm, është një funksion bijektiv dhe i vazhdueshëm midis hapësirave topologjike, i cili ka një funksion të kundërt të vazhdueshëm. Homeomorfizmat janë izomorfizmat në kategorinë e hapësirave topologjike — domethënë, ato janë hartëzimet që ruajnë të gjitha vetitë topologjike të një hapësire të caktuar. Dy hapësira me një homeomorfizëm midis tyre quhen homeomorfike dhe nga pikëpamja topologjike janë të njëjta.

Në mënyrë të thjeshtë, një hapësirë topologjike është një objekt gjeometrik, dhe një homeomorfizëm rezulton nga një shformimi i vazhdueshëm i objektit në një formë të re. Kështu, një katror dhe një rreth janë homeomorfikë me njëri-tjetrin, por një sferë dhe një torus nuk janë. Megjithatë, ky përshkrim mund të jetë mashtrues. Disa shformime të vazhdueshme nuk rezultojnë në homeomorfizma, siç është shformimi i një vije në një pikë. Disa homeomorfizma nuk rezultojnë nga shformime të vazhdueshme, siç është homeomorfizmi midis një nyje tërfil dhe një rrethi. Homotopia dhe izotopia janë përkufizime të sakta për konceptin informal të shformimit të vazhdueshëm .

Përkufizimi

Një funksion $f:X\to Y$ ndërmjet dy hapësirave topologjike është një homeomorfizëm nëse ka këto veti:

• $f$ është një bijeksion ( një-me-një dhe mbi ),
• $f$ është i vazhdueshëm ,
• funksioni i anasjelltë $f^{-1}$ është i vazhdueshëm ( $f$ është një hartë e hapur ).

Një homeomorfizëm nganjëherë quhet funksion i dyfishtë . Nëse ekziston një funksion i tillë, $X$ dhe $Y$ janë homeomorfe . Një vetë-homeomorfizëm është një homeomorfizëm nga një hapësirë topologjike në vetvete. Të qenit "homeomorfik" është një lidhje e njëvlershme në hapësirat topologjike. Klasat e tij të njëvlershmërisë quhen klasa homeomorfizmi .

Kërkesa e tretë, që ${\textstyle f^{-1}}$ të jetë i vazhdueshëm, është thelbësore. Konsideroni për shembull funksionin ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ (rrethi i njësisë në $\mathbb {R} ^{2}$ i përcaktuar nga ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ Ky funksion është bijektiv dhe i vazhdueshëm, por jo homeomorfizëm ( ${\textstyle S^{1}}$ është kompakt por ${\textstyle [0,2\pi )}$ nuk është). Funksioni ${\textstyle f^{-1}}$ nuk është i vazhdueshëm në pikë ${\textstyle (1,0),}$ sepse edhe pse ${\textstyle f^{-1}}$ hartëzon ${\textstyle (1,0)}$ te ${\textstyle 0,}$ çdo zonë rrethuese e kësaj pike përfshin edhe pikat që funksioni i hartëzon afër ${\textstyle 2\pi ,}$ por pikat që i shënon me numrat në mes ndodhen jashtë zonës rrethuese.

Homeomorfizmat janë izomorfizma në kategorinë e hapësirave topologjike . Si i tillë, përbërja e dy homeomorfizmave është përsëri një homeomorfizëm, dhe grupi i të gjitha vetë-homeomorfizmave ${\textstyle X\to X}$ formon një grup, të quajtur grupi i homeomorfizmit të X, i shënuar shpesh ${\textstyle {\text{Homeo}}(X).}$ Këtij grupi mund t'i jepet një topologji, siç është topologjia kompakte e hapur, e cila sipas supozimeve të caktuara e bën atë një grup topologjik . e

Shembuj

Një nyje tërfil e trashur e është homeomorfike ndaj një torusi të ngurtë, por jo izotopike në $\mathbb {R} ^{3}.$ Hartëzimet e vazhduara nuk janë gjithmonë të realizueshme si deformime.

• Intervali ${\textstyle (a,b)}$ është homeomorfik mbi numrat reakë $\mathbb {R}$ për çdo ${\textstyle a<b.}$ (Në këtë rast, një hartëzim i parmë i dyvazhduar jepet nga ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$ ndërkohë hartëzime të tjera të tilla jepen nga versione të shkallëzuara ose të përkthyera të funksioneve tan ose arg tanh).
• Disku njësi ${\textstyle D^{2}}$ dhe katrori njësi në $\mathbb {R} ^{2}$ janë homeomorfikë; meqënëse i pari mund të shformohet tek i dyti. Një shformim i tillë mund të jepet në koordinata polare si, $$(\rho ,\theta )\mapsto \left({\tfrac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).$$
• Një graf i një funksioni të diferencueshëm është homeomorfik tek B.P e funksionit.
• Një parametrizim i diferencueshëm i një kurbe është një homeomorfizëm midis domeinit të parametrizimit dhe kurbës.
• Një atlas i një durthi është një homeomorfizëm midis një nënbashkësie të hapur të durthit dhe një nënbashkësie të hapur të hapësirës euklidiane.

• $\mathbb {R} ^{m}$ dhe $\mathbb {R} ^{n}$ nuk janë homeomorfike për m ≠ n.
• Vija Euklidiane e numrave nuk është homeomorfike mbi rrethin njësi si nënhapësirë e $\mathbb {R} ^{2}$, meqënëse rrethi njësi është kompakt si një nënhapësirë e bashkësisë euklidiane $\mathbb {R} ^{2}$ por drejtëza reale nuk është kompakte.
• Intervalet një-dimensionale $[0,1]$ dhe $(0,1)$ nuk janë homeomorfike sepse njëri është kompakt kurse tjetri jo.

Vetitë

• Dy hapësira homeomorfe ndajnë të njëjtat veti topologjike . Për shembull, nëse njëri prej tyre është kompakt, atëherë edhe tjetri është gjithashtu; nëse njëri prej tyre është i lidhur, atëherë është edhe tjetri; nëse njëri prej tyre është Hausdorff, atëherë tjetri është gjithashtu; grupet e tyre homotopike dhe homologjike do të përkojnë. Megjithatë, vini re se kjo nuk shtrihet në vetitë e përcaktuara nëpërmjet një metrike ; ka hapësira metrike që janë homeomorfe edhe pse njëra prej tyre është e plotë dhe tjetra jo.
• Një homeomorfizëm është njëkohësisht një hartë e hapur dhe një hartë e mbyllur ; d.m.th., ai harton grupe të hapura në grupe të hapura dhe grupe të mbyllura në grupe të mbyllura.
• Çdo vetë-homeomorfizëm në $S^{1}$ mund të shtrihet në një vetë-homeomorfizëm të të gjithë diskut $D^{2}$ ( mashtrimi i Aleksandrit ).