Hapësira topologjike

Në matematikë, një hapësirë topologjike është, përafërsisht, një hapësirë gjeometrike në të cilën afërsia përcaktohet, por nuk mund të matet domosdoshmërisht me një largësi numerike. Më konkretisht, një hapësirë topologjike është një bashkësi, elementët e së cilës quhen pika, së bashku me një strukturë shtesë të quajtur topologji, e cila mund të përkufizohet si një grup fqinjësie për secilën pikë, që plotësojnë disa aksioma që formalizojnë konceptin e afërsisë. Ekzistojnë disa përkufizime të njëvlerëshme të një topologjie, prej të cilave më i përdoruri është përkufizimi përmes bashkësive të hapura, i cili është më i lehtë se të tjerët për t'u manipuluar.

Një hapësirë topologjike është lloji më i përgjithshëm i një hapësire matematikore që lejon përcaktimin e limiteve, vazhdimësisë dhe lidhjes . Llojet e zakonshme të hapësirave topologjike përfshijnë hapësirat Euklidiane, hapësirat metrike dhe durthet .

Edhe pse shumë i përgjithshëm, koncepti i hapësirave topologjike është themelor dhe përdoret pothuajse në çdo degë të matematikës moderne. Studimi i hapësirave topologjike në vetvete quhet topologji me grup pikësh ose topologji të përgjithshme .

Historia

Rreth vitit 1735, Leonhard Euler zbuloi formulën $V-E+F=2$ që lidh numrin e kulmeve (V), skajeve (E) dhe faqeve (F) të një poliedri të lugët, dhe si rrjedhim të një grafi planar . Studimi dhe përgjithësimi i kësaj formule, veçanërisht nga Cauchy (1789-1857) dhe L'Huilier (1750-1840), nxiti studimin e topologjisë . Në 1827, Carl Friedrich Gauss botoi Hulumtimet e përgjithshme të sipërfaqeve të lakuara, të cilat në seksionin 3 e përkufizojnë sipërfaqen e lakuar në një mënyrë të ngjashme me kuptimin modern topologjik: "Një sipërfaqe e lakuar thuhet se ka lakim të vazhdueshëm në një nga pikat e saj A, nëse drejtimi i të gjitha vijave të drejta të tërhequra nga A në pikat e sipërfaqes në një largësi pafundësisht të vogël nga A shmangen pafundësisht nga i njëjti rrafsh që kalon nëpër A."

Hapësirat topologjike u përcaktuan për herë të parë nga Felix Hausdorff në 1914 në "Parimet e Teorisë së Kompleteve". Hapësirat metrike ishin përcaktuar më herët në 1906 nga Maurice Fréchet, megjithëse ishte Hausdorff ai që popullarizoi termin "hapësirë metrike" ( gjermanisht: metrischer Raum ).

Përkufizimet

Përkufizimi nëpërmjet grupeve të hapura

Një topologji në një bashkësi X mund të përkufizohet si një koleksion $\tau$ i nënbashkësive të X, të quajtura bashkësi të hapura dhe që plotësojnë aksiomat e mëposhtme:

1. Bashkësia boshe dhe $X$ vetë i përkasin $\tau .$
2. Çdo bashkim arbitrar (i fundëm ose i pafundëm) i anëtarëve të $\tau$ i përket $\tau .$
3. Prerja e çdo numri të kufizuar anëtarësh të $\tau$ i përket $\tau .$

Meqenëse ky përkufizim i një topologjie është më i përdoruri, bashkësia $\tau$ e bashkësive të hapura zakonisht quhet topologji në $X.$

Një nënbashkësi $C\subseteq X$ thuhet se është e mbyllur në $(X,\tau )$ nëse plotësja i saj $X\setminus C$ është një një bashkësi e hapur.

Shembuj të topologjive

Le të jetë $\tau$ e shënuar me rrathë, këtu janë katër shembuj dhe dy jo-shembuj të topologjive në bashkësinë me tre pika $\{1,2,3\}.$ Shembulli poshtë-majtas nuk është një topologji sepse bashkimi i $\{2\}$ dhe $\{3\}$ [dmth $\{2,3\}$ ] mungon; shembulli poshtë-djathtas nuk është një topologji sepse prerja e $\{1,2\}$ dhe $\{2,3\}$ [dmth $\{2\}$ ], mungon.

1. Le të jetë dhënë $X=\{1,2,3,4\},$ topologjia triviale ose indiskrete mbi $X$ është familja $\tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}$ e cila përbëhet vetëm nga dy nënbashkësitë e $X$ që kërkohen nga aksiomat, formon topologji mbi $X.$
2. Dhënë $X=\{1,2,3,4\},$ familja
   $$\tau =\{\{\},\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}$$
   e gjashtë nënbashkësive të $X$ formon një tjetër topologji të $X.$
3. Dhënë $X=\{1,2,3,4\},$ topologjia diskrete mbi $X$ është bashkësia partitive e $X,$ e cila është familja $\tau =\wp (X)$ që përbëhet nga nëbashkësitë e mundshme të $X.$ Në këtë rast hapësira topologjike $(X,\tau )$ quhet një hapësirë diskrete.
4. Dhënë $X=\mathbb {Z} ,$ familja $\tau$ e të gjitha nënbashkësive të fundme të numrave të plotë plus vetë $\mathbb {Z}$ nuk është një topologji, sepse (psh) bashkimi i të gjitha bashkësive të fundme që nuk përmbajnë zeron nuk është i fundëm dhe prandaj nuk është anëtar i familjes së bashkësive të fundme.

Funksionet e vazhdueshme

Një funksion $f:X\to Y$ ndërmjet hapësirave topologjike quhet i vazhdueshëm nëse për çdo $x\in X$ dhe çdo zonë rrethuese $N$ e $f(x)$ ka një zonë rrethuese $M$ të $x$ të tillë që $f(M)\subseteq N.$ Kjo lidhet lehtësisht me përkufizimin e zakonshëm në analizë. Në mënyrë të njëvlerëshme, $f$ është e vazhdueshme nëse imazhi i anasjelltë i çdo bashkësie të hapur është i hapur. Kjo është një përpjekje për të kapur intuitën se nuk ka "hedhje" apo "ndarje" në funksion. Një homeomorfizëm është një bijeksion që është i vazhdueshëm dhe anasjellta e të cilit është gjithashtu e vazhdueshme. Dy hapësira quhen homeomorfike nëse midis tyre ekziston një homeomorfizëm. Nga pikëpamja e topologjisë, hapësirat homeomorfe janë në thelb identike.

Shembuj të hapësirave topologjike

Një bashkësi e caktuar mund të ketë shumë topologji të ndryshme. Nëse një bashkësie i jepet një topologji tjetër, ajo shihet si një hapësirë topologjike e ndryshme. Çdo bashkësie mund t'i jepet topologjia diskrete në të cilën çdo nënbashkësi është e hapur. Sekuencat ose rrjetat e vetme konvergjente në këtë topologji janë ato konstante. Gjithashtu, çdo bashkësie mund t'i jepet topologjia e parëndësishme (e quajtur edhe topologjia indiskrete), në të cilën vetëm bashkësia boshe dhe e gjithë hapësira janë të hapura. Çdo sekuencë dhe rrjetë në këtë topologji konvergjon në çdo pikë të hapësirës. Ky shembull tregon se në hapësirat e përgjithshme topologjike, kufijtë e sekuencave nuk duhet të jenë unike.

Hapësirat metrike

Artikulli kryesor: Hapësira metrike

Hapësirat metrike mishërojnë një metrikë, një nocion i saktë i largësisë ndërmjet pikave.

Çdo hapësirë metrike mund t'i jepet një topologji metrike, në të cilën bahkësitë bazë të hapura janë topa të hapur të përcaktuara nga metrika. Kjo është topologjia standarde në çdo hapësirë vektoriale të normuar . Në një hapësirë vektoriale me dimensione të fundme kjo topologji është e njëjtë për të gjitha normat.

Hapësira të tjera

Nëse $\Gamma$ është një filtër në një bashlësi $X$ atëherë $\{\varnothing \}\cup \Gamma$ është një topologji në $X.$

Shumë bashkësi operatorësh linearë në analizën funksionale janë të pajisura me topologji që përcaktohen duke specifikuar kur një sekuencë e caktuar funksionesh konvergjon në funksionin zero.

Çdo fushë vendore ka një topologji vendase për të, dhe kjo mund të zgjerohet në hapësirat vektoriale mbi atë fushë.

Çdo durthka një topologji natyrore pasi është vendasi Euklidiane. Në mënyrë të ngjashme, çdo simpleks dhe çdo kompleks i thjeshtë trashëgon një topologji natyrore nga ai.

Topologjia Zariski përcaktohet në mënyrë algjebrike në spektrin e një unaze ose një varieteti algjebrik . Aktiv $\mathbb {R} ^{n}$ ose $\mathbb {C} ^{n},$ bashkësitë e mbyllura të topologjisë Zariski janë bashkësitë zgjidhje të sistemeve të ekuacioneve polinomiale .

Një graf linear ka një topologji natyrore që përgjithëson shumë nga aspektet gjeometrike të grafëve me kulme dhe skaje .