Durthi

Shishja Klajn e zhytur në hapësirën tredimensionale

Në matematikë, një durth është një hapësirë topologjike që në nivel vendor i ngjan hapësirës Euklidiane pranë çdo pike. Më saktësisht, një durth $n$ - dimensional, ose $n$ -shkurt shumëfish, është një hapësirë topologjike me vetinë që çdo pikë të ketë një lagje që është homeomorfike me një nënbashkësi të hapur të hapësirës $n$ - dimensionale Euklidiane.

Durthët njëdimensionalë përfshijnë vija dhe rrathë, por jo kthesa vetë-kryqëzuese si figura 8 . Durthët dydimensionalë quhen gjithashtu sipërfaqe . Shembujt përfshijnë rrafshin, sferën dhe torin, si dhe shishen Klajn dhe planin real projektues .

Koncepti i durthit është qendror për shumë pjesë të gjeometrisë dhe fizikës matematikore moderne, sepse lejon që strukturat e ndërlikuara të përshkruhen në terma të vetive topologjike të mirëkuptuara të hapësirave më të thjeshta. Durthët lindin natyrshëm si bashkësi zgjidhjesh të sistemeve të ekuacioneve dhe si grafikë funksionesh. Koncepti ka zbatime në grafikë kompjuterike duke pasur parasysh nevojën për të shoqëruar fotot me koordinatat (p.sh. skanime CT ).

Durthët mund të pajisen me struktura shtesë. Një klasë e rëndësishme e durthëve janë durthët e diferencueshëm ; struktura e tyre e diferencueshme lejon që të bëhen llogaritje . Një metrikë e Rimanit në një durth lejon matjen e largësive dhe këndeve . Durthët simbolikë shërbejnë si hapësira fazore në formalizmin Hamiltonian të mekanikës klasike, ndërsa durthët katërdimensionalë Lorencianë modelojnë hapësirën-kohën në relativitetin e përgjithshëm .

Studimi i manifoldeve kërkon njohuri të llogaritjes dhe topologjisë .

Shembuj motivues

Rrethi

Figura 1: Katër rapat hartojnë secilën pjesë të rrethit në një interval të hapur dhe së bashku mbulojnë të gjithë rrethin.

Pas një rreshti, një rreth është shembulli më i thjeshtë i një durthi topologjik. Topologjia injoron përkuljen, kështu që një pjesë e vogël e një rrethi trajtohet njësoj si një pjesë e vogël e një drejtëze. Duke marrë parasysh, për shembull, pjesën e sipërme të rrethit njësi, x ² + y ² = 1, ku koordinata y është pozitive (tregohet nga harku i verdhë në figurën 1 ). Çdo pikë e këtij harku mund të përshkruhet në mënyrë unike nga koordinata e saj x . Pra, projeksioni në koordinatën e parë është një hartë e vazhdueshme dhe e kthyeshme nga harku i sipërm në intervalin e hapur (−1, 1):$${\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}$$Funksione të tilla së bashku me rajonet e hapura që ato hartojnë quhen rapa . Në mënyrë të ngjashme, ka rapa për pjesët e poshtme (të kuqe), majtas (blu) dhe djathtas (jeshile) të rrethit:$${\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}$$Së bashku, këto pjesë mbulojnë të gjithë rrethin, dhe katër rapat formojnë një atlas për rrethin.

Rapat e sipërme dhe të djathta, $\chi _{\mathrm {top} }$ dhe $\chi _{\mathrm {right} }$ përkatësisht mbivendosen në domenin e tyre: prerja e tyre shtrihet në çerekun e rrethit ku të dyja $x$ dhe $y$ -koordinatat janë pozitive. Të dy e hartojnë këtë pjesë në interval $(0,1)$, edhe pse ndryshe. Kështu një funksion $T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}$ mund të ndërtohet, e cila merr vlera nga bashkëdomeni i $\chi _{\mathrm {top} }$ mbrapsht në rreth duke përdorur të anasjelltën , e ndjekur nga $\chi _{\mathrm {right} }$ përsëri në interval. Nëse a është ndonjë numër në $(0,1)$, atëherë:

Një funksion i tillë quhet <i id="mwbw">hartë e tranzicionit</i> .

Figura 2: Një rapë e durthit të rrethit e bazuar në pjerrësi, që mbulon çdo gjë përveç një pike të rrethit.

Rapat e sipërme, të poshtme, majtas dhe djathtas nuk përbëjnë atlasin e vetëm të mundshëm. Grafikët nuk duhet të jenë projeksione gjeometrike, dhe numri i grafikëve është çështje zgjedhjeje. Merrni parasysh grafikët