Spiralja e Arkimedit

Tre sythe 360° të njërit krah të një spiraleje Arkimedease

Spiralja e Arkimedit (e njohur edhe si spiralja aritmetike ) është një spirale e quajtur sipas matematikanit grek të shekullit të III para Krishtit, Arkimedit . Është grumbulli që korrespondon me vendndodhjet me kalimin e kohës të një pike që largohet nga një pikë fikse me një shpejtësi konstante përgjatë një linje që rrotullohet me shpejtësi këndore konstante. Në mënyrë të njëvlershme, në koordinatat polare $(r,\theta )$ mund të përshkruhet nga ekuacioni

$$r=a+b\cdot \theta$$

me numra realë a dhe b . Ndryshimi i parametrit a e zhvendos pikën qendrore të spirales nga origjina (pozitive a drejt $\theta =0$ dhe negative a drejt $\theta =\pi$ ) në thelb përmes një rrotullimi të spirales, ndërsa b kontrollon distancën midis sytheve.

Arkimedi e përshkroi një spirale të tillë në librin e tij Mbi spiralet . Kononi i Samos ishte një mik i tij dhe Pappi thotë se kjo spirale u zbulua nga Kononi.

Gjatësia e harkut dhe kurbatura

Rrathët oskulues të spirales së Arkimedit, tangjentë me spiralen dhe që kanë të njëjtën lakim në pikën tangjente. Vetë spiralja nuk vizatohet, por mund të shihet si pika ku rrathët janë veçanërisht afër njëri-tjetrit.

Jepet parametrizimi në koordinata karteziane

$$f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(b\,\theta \,\cos \theta ,b\,\theta \,\sin \theta )$$

gjatësia e harkut nga $\theta _{1}$ te $\theta _{2}$ është

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}$$

ose, në mënyrë të njëvlershme:

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.$$

Gjatësia totale nga $\theta _{1}=0$ te $\theta _{2}=\theta$ është prandaj

$${\frac {b}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].$$

Kurbatura jepet nga

$$\kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{b(\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}}$$

Karakteristikat

Spiralja e Arkimedit e paraqitur në një grafik polar

Spiralja e Arkimedit ka vetinë që çdo rreze nga origjina i pret rrotullimet e njëpasnjëshme të spirales në pika me një largësi ndarjeje konstante (e barabartë me 2πb nëse θ matet në radianë ), prandaj edhe emri "spiralja aritmetike". Në ndryshim nga kjo, në një spirale logaritmike këto largësi, si dhe largësitë e pikave të kryqëzimit të matura nga origjina, formojnë një progresion gjeometrik .

Ndërsa spiralja e Arkimedit rritet, evoluta e saj në mënyrë asimptotike i afrohet një rrethi me rreze

Zbatimet

Një metodë e katrorimit të rrethit, për shkak të Arkimedit, përdor një spirale të Arkimedit. Arkimedi tregoi gjithashtu se si spiralja mund të përdoret për të treprerë një kënd . Të dyja përqasjet lehtësojnë kufizimet tradicionale në përdorimin e vijës së drejtë dhe busullës në provat gjeometrike greke të lashta.

Mekanizmi i një kompresori rrotullues

Spiralja e Arkimedit ka një sërë aplikimesh në botën reale. Kompresorët me rrotulla, të përdorur për ngjeshjen e gazeve, kanë rotorë që mund të bëhen nga dy spirale të ndërthurura arkimediane, involuta të një rrethi të së njëjtës madhësi që pothuajse i ngjajnë spirales së Arkimedit, ose kurbave hibride.

Të kërkosh që një pacient të vizatojë një spirale të Arkimedit është një mënyrë për të matur dridhjen njerëzore; Ky informacion ndihmon në diagnostikimin e sëmundjeve neurologjike.