Sistemet lineare

Hyrje

Sistemi përbëhet nga një bashkësi fizike apo matematike e komponentëve i cili në një ngacmim hyrës përgjigjet me një sinjal në dalje të tij. Dy atributet më të rëndësishme të sistemeve janë lineariteti dhe invarianca në kohë.

Sistemet mund të jenë:

Me një hyrje dhe një dalje (SISO)

Me shumë hyrje dhe shumë dalje (MIMO)

Sistemet me një hyrje dhe një dalje

Sistemi me një hyrje dhe një dalje përkufizohen matematikisht si një pasqyrim, ku hyrjes x(t) i bashkangjitet dalja apo përgjigja e sistemit y(t).

Sistemet e vazhduara x(t)→y(t)

Sistemet diskrete x[n]→y[n]

Lidhjet e sistemeve

Lidhja në seri

Kur dy sisteme $S_{1}dheS_{2}$ janë të lidhura në seri vlen relacioni:

$y=S_{2}{S_{1}[x]}$

Interpretimi: $S_{1}$ vepron i pari në sinjalin hyrës x, e pastaj $S_{2}$ vepron në përgjigjen e sistemit të parë, që rezulton me përgjigjen e përgjithshme y.

Sistemi ekuivalent $S_{e}[x]=(S_{2}S_{1})[x]$

ku $S_{e}=(S_{2}S_{1})$ është sistemi ekuivalent.

Për sistemet lineare vlen vetia e komutacionit, pra $S_{2}S_{1}=S_{1}S_{2}$, por në rastin e përgjithshëm nuk vlen, pra $S_{2}S_{1}$≠$S_{1}S_{2}$

Lidhja paralele

Kur dy sisteme $S_{1}dheS_{2}$ janë të lidhura në paralel vlen relacioni:

$y=S_{2}[x]+S_{1}[x]=(S_{1}+S_{2})[x]=S_{e}[x]S_{e}=(S_{1}+S_{2})=(S_{2}+S_{1})$

Lidhja me riveprim

Kur dy sisteme $S_{1}dheS_{2}$ janë të lidhura me riveprim vlen relacioni:

$y=S_{1}[x-S_{2}[y]]$

Lidhja mbështet parimin fundamental të funksionit të sistemeve të rregullimit automatik.

Vetitë e sistemeve

Kujtesa

Një sistem konsiderohet se nuk ka kujtesë në qoftë se dalja në një moment të caktuar kohor varet vetëm nga vlera e sinjalit hyrës në atë moment, e jo nga vlerat e mëparshme apo të ardhshme të sinjalit hyrës. Nëse sistemi nuk e ka këtë veti, atëherë ai është me kujtesë.

Sistemet dinamike janë sisteme me kujtesë, ndërsa sistemet statike janë sisteme pa kujtesë.

Shembull

Sistem me kujtesë: $y[n]=y[n-3]-4x^{2}[n]$

Sistem pa kujtesë: $y[n]=5x[n]$

Shkakësia

Sistemi është shkakësor apo kauzal në qoftë se dalja në kohën aktuale varet vetëm nga hyrja në këtë kohë dhe nga hyrja në kohën e mëparshme, e jo edhe nga hyrja në kohën e ardhshme.

Sistemi shkakësor nuk ka aftësi për ta parashikuar të ardhmen.

Shembull

Sistemi shkakësor: $y[n]=x[n]-2x[n-2]$

Sistemi joshkakësor: $y[n]=3x[n+2]-2x[n]+5$

Invertibiliteti

Sistemi është invertibil ose i kthyeshëm në qoftë se hyrjet e ndryshme shkaktojnë dalje të ndryshme.

$x=S^{-1}[y]=S^{-1}[x]=I[x],I=S^{-1}S$

Sistemet joinvertibile

$y[n]=S[x[n]]=x^{2}[n]$

Sistemet invertibile

$y[n]=S[x[n]]=2x[n]$

Lineariteti

Sistemi është linear në qoftë se ai është homogjen dhe aditiv. Sistemi është homogjen nëse në hyrjen e shkallëzuar me konstantë ai përgjigjet me dalje të shkallëzuar me të njëjtin konstantë të shkallëzimit.

$S[ax]=aS[x]$

Sistemi është aditiv nëse në shumën e hyrjeve përgjigjet me shumën e daljeve.

$S[x_{1}+x_{2}]=S[x_{1}]+S[x_{2}]$

Për të qenë sistemi linear ai duhet të jetë njëkohësisht homogjen dhe aditiv, pra:

$S[a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}]=a_{1}S[x_{1}]+a_{2}S[x_{2}]$

Invarianca në kohë (Invarianca në zhvendosje)

Sistemi është i pandryshueshëm në kohë (invariant në zhvendosje - te sistemet diskrete) në qoftë se ai në hyrjen e vonuar përgjigjet me dalje të vonuar për të njëjtën vonesë kohore (zhvendosje).

Shembull

I ndryshueshëm në zhvendosje: $y[n]=nx[n]$

I pandryshueshëm në zhvendosje: $y[n]=5x[n]-x[n-2]$

Stabiliteti

Në qoftë se sistemi në hyrjen e kufizuar përgjigjet me dalje të kufizuar atëherë ai është stabil.

Që një sistem të jetë stabil, duhet të plotësoj konditën:

Kur hyrja e sistemit është e kufizuar |x|<$B_{x}$<∞ → |y|<$B_{y}$<∞

Ku $B_{x}$ është kufiri i sinjalit në hyrje, ndërsa $B_{y}$ është kufiri i sinjalit në dalje të sistemit.

Ky përkufizim I stabilitetit njihet si BIBO (Bounded input – Bounded outout) – ( Hyrje e kufishme – Dalje e kufishme)

Shiko Gjithashtu

Modulimi Amplitudor

Modulimi Këndor

Filtrat (Përpunimi i Sinjaleve)

Sinjalet

Referime

1.*Hwei P. Hsu. “Shaum’s Outlines of Signals and Systems”. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) 2.*A.V.Oppenheim,A.S.Willsky. “Signals and Systems,2ed”. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) 3.*Martin Bossert. “Signale und Systeme”. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) 4.“Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani