Derivati i kohës
Një derivat kohor është një derivat i një funksioni në lidhje me kohën, zakonisht interpretohet si shpejtësia e ndryshimit të vlerës së funksionit. [1] Ndryshorja që tregon kohën zakonisht shkruhet si .
Shënimi
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Një shumëllojshmëri shënimesh përdoren për të treguar derivatin e kohës. Përveç shënimit normal ( të Lajbnicit ),
Një shënim shumë i zakonshëm i shkurtuar që përdoret, veçanërisht në fizikë, është 'mbi-pika'. dmth
(Ky quhet shënimi i Njutonit )
Përdoren edhe derivatet më të larta të kohës: derivati i dytë në lidhje me kohën shkruhet si
me stenografinë përkatëse të .
Si përgjithësim, derivati kohor i një vektori, të trajtës:
përkufizohet si vektori, përbërësit e të cilit janë derivatet e përbërësve të vektorit origjinal. Kjo në terma të tjerë do të thotë,
Derivatet kohore janë një koncept kyç në fizikë . Për shembull, për një pozicion në ndryshim , derivati i saj kohor është shpejtësia e saj dhe derivati i dytë i saj në lidhje me kohën, , është nxitimi i tij . Nganjëherë përdoren edhe derivate më të lartë: derivati i tretë i pozicionit në lidhje me kohën njihet si hov.
Një numër i madh ekuacionesh themelore në fizikë përfshijnë derivate për herë të parë ose të dytë të madhësive. Shumë madhësi të tjera themelore në shkencë janë derivate kohore të njëra-tjetrës:
- forca është derivati kohor i impulsit
- fuqia është derivati kohor i energjisë
- rryma elektrike është derivati kohor i ngarkesës elektrike
Me këtë formë për zhvendosjen, gjendet shpejtësia e çastit. Derivati kohor i vektorit të zhvendosjes është vektori i shpejtësisë. Në përgjithësi, derivati i një vektori është një vektor i përbërë nga përbërës secili prej të cilëve është derivat i përbërësit përkatës të vektorit origjinal. Kështu, në këtë rast, vektori i shpejtësisë është:
Shembull: lëvizja rrethore
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Për shembull, merrni parasysh një grimcë që lëviz në një shteg rrethor. Vendndodhja e saj jepet nga vektori i zhvendosjes , lidhur me këndin, θ, dhe largësinë rrezore, r, siç përcaktohet në figurë:
Për këtë shembull, supozojmë se θ = t . Prandaj, zhvendosja (pozicioni) në çdo kohë t jepet nga
Kjo formë tregon se lëvizja e përshkruar nga r ( t ) është në një rreth me rreze r sepse madhësia e r ( t ) jepet nga
duke përdorur identitetin trigonometrik sin2(t) + cos2(t) = 1 dhe ku është prodhimi i zakonshëm i pikave Euklidiane.
Atëherë nxitimi është derivati kohor i shpejtësisë:
Përdorimi në ekonomi
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]Në ekonomi, shumë modele teorike të evolucionit të ndryshoreve të shumëllojshme ekonomike ndërtohen në kohë të vazhdueshme dhe për këtë arsye përdorin derivate kohore. [2] : ch. 1-3 Një situatë përfshin një ndryshore stoku dhe derivatin e tij kohor, një ndryshore fluksi . Shembujt përfshijnë:
- Rrjedha e investimeve fikse neto është derivati kohor i stokut të kapitalit .
- Rrjedha e investimit të inventarit është derivati kohor i stokut të inventarit .
- Shkalla e rritjes së ofertës monetare është derivati kohor i ofertës monetare të ndarë me vetë ofertën monetare.
- ^ Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.
- ^ See for example Romer, David (1996). Advanced Macroeconomics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-053667-8.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)