Prodhimi vektorial

Produkti kryq në lidhje me një sistem koordinativ të djathtë

Në matematikë, prodhimi kryq ose prodhimi vektorial është një veprim binar mbi dy vektorë në një hapësirë vektoriale euklidiane të orientuar tre-dimensionale (e emërtuar këtu $E$ ), dhe shënohet me simbolin $\times$ . Duke pasur parasysh dy vektorë linearisht të pavarur a dhe b, prodhimi kryq, a × b (lexohet "a kryq b"), është një vektor që është pingul me a dhe b, dhe kështu normal me rrafshin që i përmban. Njësitë e prodhimit të kryqëzuar janë prodhimi i njësive të çdo vektori. Ka shumë zbatime në matematikë, fizikë, inxhinieri dhe programim kompjuterik . Nuk duhet të ngatërrohet me prodhimin skalar (pordhimi i një projeksioni).

Nëse dy vektorë kanë të njëjtin drejtim ose kanë drejtim të kundërt (d.m.th., ata nuk janë linearisht të pavarur), ose nëse njëri prej tyre ka gjatësi zero, atëherë prodhimi i tyre kryq është zero. Në përgjithësi, madhësia e produktit është e barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami me vektorët për brinjë; në veçanti, madhësia e prodhimit të dy vektorëve pingulë është prodhimi i gjatësive të tyre.

Produkti kryq është kundërndërrues (d.m.th. a × b = − b × a ) dhe është shpërndarës për mbledhjen (d.m.th., a × ( b + c ) = a × b + a × c ). Hapsira $E$ së bashku me prodhimin vektorial është një algjebër mbi numrat realë, e cila nuk është as ndërruese dhe as shoqëruese, por është një algjebër Lie ku prodhimi kryq është kllapa Lie .

Ashtu si dhe prodhimi skalar, ai varet nga metrika e hapësirës Euklidiane, por ndryshe nga prodhimi skalar, ai gjithashtu varet nga zgjedhja e orientimit (ose " dorëzimi ") të hapësirës (kjo është arsyeja pse nevojitet një hapësirë e orientuar). Në lidhje me produktin kryq, produkti i jashtëm i vektorëve mund të përdoret në dimensione arbitrare (me një rezultat bivektor ose 2-formësh ) dhe është i pavarur nga orientimi i hapësirës.

E ç'është prodhimi vektorial?

Gjetja e drejtimit të prodhimit kryq sipas rregullit të dorës së djathtë

Prodhimi kryq i dy vektorëve a dhe b përcaktohet vetëm në hapësirën tredimensionale dhe shënohet me a × b . Në fizikë dhe matematikë të zbatuar, simboli pykë a ∧ b përdoret shpesh, edhe pse në matematikën e pastër një shënim i tillë zakonisht rezervohet vetëm për prodhimin e jashtëm, një abstragimi i prodhimit vektorial në n dimensione.

Prodhimi kryq a × b përkufizohet si një vektor c që është pingul me a dhe b, me një drejtim të dhënë nga rregulli i dorës së djathtë dhe një madhësi të barabartë me sipërfaqen e paralelogramit që vektorët gjenerojnë.

Prodhimi kryq përcaktohet me formulën

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\ \mathbf {n}$

ku:

• θ është këndi midis a dhe b në rrafshin që i përmban ato (prandaj, është midis 0° dhe 180°)
• ‖ a ‖ dhe ‖ b ‖ janë gjatësitë e vektorëve a dhe b
• dhe n është një vektor njësi pingul me rrafshin që përmban a dhe b, me drejtim të tillë që bashkësia e renditur ( a, b, n ) është e orientuar pozitivisht .

Nëse vektorët a dhe b janë paralelë (d.m.th., këndi θ ndërmjet tyre është ose 0° ose 180°), sipas formulës së mësipërme, prodhimi kryq i a dhe b është vektori zero 0 .

Drejtimi

Produkti kryq a × b (vertikal, në vjollcë) ndryshon ndërsa këndi midis vektorëve a (blu) dhe b (i kuq) ndryshon. Produkti kryq është gjithmonë pingul me të dy vektorët, dhe ka madhësi zero kur vektorët janë paralelë dhe madhësinë maksimale ‖ a ‖‖ b ‖ kur janë ortogonalë.

Drejtimi i vektorit n varet nga orientimi i zgjedhur i hapësirës. Në mënyrë konvencionale, ai jepet nga rregulli i dorës së djathtë, ku njeriu thjesht tregon gishtin tregues të dorës së djathtë në drejtim të a dhe gishtin e mesit në drejtimin e b . Pastaj, vektori n del nga gishti i madh (shih foton ngjitur). Përdorimi i këtij rregulli nënkupton që prodhimi i kryqëzuar është kundërndërrues ; pra b × a = −(a × b) . Duke e drejtuar fillimisht gishtin tregues drejt b dhe më pas duke drejtuar gishtin e mesit drejt a, gishti i madh do të detyrohet në drejtim të kundërt, duke e kthyer shenjën e vektorit të produktit.

Duke qenë se vepruesi i prodhimit të kryqëzuar varet nga orientimi i hapësirës, në përgjithësi prodhimi kryq i dy vektorëve nuk është një vektor "i vërtetë", por një pseudovektor

Llogaritje

Shënimi në koordinata

Vektorët e bazës standarde ( i, j, k, shënohen gjithashtu (e ₁, e ₂, e ₃ ) dhe përbërësit vektorialë të a ( a _x, a _y, a _z, të shënuar gjithashtu (a ₁, a ₂, a ₃ )

Nëse ( i, j, k ) është një bazë ortonormale e orientuar pozitivisht, vektorët bazë plotësojnë barazimet e mëposhtme

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$

të cilat nënkuptojnë, nga kundërndërrimi i prodhimit kryq, se

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$

Kundërndërrimi i prodhimit kryq (dhe mungesa e dukshme e pavarësisë lineare) gjithashtu nënkupton këtë

$\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0}$ ( vektori zero ).

Këto barazime, së bashku me shpërndarjen dhe linearitetin e prodhimit vektorial, janë të mjaftueshme për të përcaktuar prodhimin vektorial të çdo dy vektorëve a dhe b . Çdo vektor mund të përkufizohet si shuma e tre përbërësve ortogonalë paralelë me vektorët bazë standardë:

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}$

Prodhimi i tyre kryq a × b mund të zgjerohet duke përdorur shpërndarjen:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}$

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

Shënimi matricor

Përdorimi i rregullit të Sarrusit për të gjetur prodhimin kryq të a dhe b

Prodhimi vektorial mund të shprehet gjithashtu si përcaktori formal :

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$

Ky përcaktues mund të llogaritet duke përdorur rregullën e Sarrusit ose zgjerimin në kofaktorë . Duke përdorur rregullin e Sarrus, ai zgjerohet në

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}$

Në vend të kësaj, duke përdorur zgjerimin në kofaktorë përgjatë rreshtit të parë, ai zgjerohet në

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

Vetitë

Kuptimi gjeometrik

Figura 1. Sipërfaqja e një paralelogrami si madhësia e një produkti kryq

Figura 2. Tre vektorë që përcaktojnë një paralelopiped

$$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.$$

Në të vërtetë, mund të llogaritet gjithashtu vëllimi V i një paralelopipedi që ka, b dhe c si brinjë duke përdorur një kombinim të një produkti kryq dhe një produkti pikë, të quajtur prodhimi i përzier (shih Figurën 2):

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$

Meqenëse rezultati i prodhimit të trefishtë skalar mund të jetë negativ, vëllimi i paralelopipedit jepet nga vlera e tij absolute:

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

Zbatimet

Prodhimi kryq ka zbatime në kontekste të ndryshme. Për shembull, përdoret

në gjeometri llogaritëse, fizikë dhe inxhinieri. Një listë jo shteruese e shembujve vijon.

Gjeometria llogaritëse

Produkti kryq shfaqet në llogaritjen e largësisë së dy drejtëzave të kithta (drejtëza jo në të njëjtin rrafsh) nga njëra-tjetra në hapësirën tredimensionale. Prodhimi kryq mund të përdoret për të llogaritur normalen për një trekëndësh ose shumëkëndësh, një veprim që kryhet shpesh në grafikat kompjuterike . Për shembull, dredha-dredha e një shumëkëndëshi (orare ose kundërorare) rreth një pike brenda shumëkëndëshit mund të llogaritet duke trekënduar shumëkëndëshin  dhe duke përmbledhur këndet duke përdorur prodhimin kryq për të mbajtur gjurmët e shenjës së çdo këndi. Në gjeometrinë llogaritëse të rrafshit, prodhimi kryq përdoret për të përcaktuar shenjën e këndit të përcaktuar nga tre pika ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})}$ dhe ${\displaystyle p_{3}=(x_{3},y_{3})}$ . Ajo përkon me drejtimin (lart ose poshtë) të prodhimit kryq të dy vektorëve bashkëplanarë të përcaktuar nga dy palë pika ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ dhe ${\displaystyle (p_{1},p_{3})}$ . Shenja e këndit është shenja e shprehjes

${\displaystyle P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1})}$ e cila është gjatësia e nënshkruar e prodhimit kryq të dy vektorëve. Në sistemin e koordinatave "djathtas", nëse rezultati është 0, pikat janë kolineare ; nëse është pozitive, tre pikat përbëjnë një kënd pozitiv rrotullimi rreth $p_{1}$ nga ${\displaystyle p_{2}}$ te ${\displaystyle p_{3}}$, përndryshe një kënd negativ. Nga një këndvështrim tjetër, shenja e P tregon nëse ${\displaystyle p_{3}}$ shtrihet në të majtë ose në të djathtë të vijës $p_{1}p_{2}$

Impulsi këndor dhe çifti i rrotullimit

Impulsi këndor ${\displaystyle {\boldsymbol {L}}}$ i një grimce rreth një origjine të caktuar përcaktohet si:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ ku ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ është vektori i pozicionit të grimcës në lidhje me origjinën, ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$ është impulsi linear i grimcës. Në të njëjtën mënyrë, momenti ${\displaystyle {\boldsymbol {M}}}$ i një force ${\displaystyle {\boldsymbol {F_{B}}}}$ të zbatuar në pikën B rreth pikës A jepet si:

$\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }$, Në mekanikë momenti i një force quhet edhe çift rrotullues dhe shkruhet si ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$. Meqenëse pozicioni r, impulsi linear p dhe forca F janë të gjithë vektorë të vërtetë, si momenti këndor L ashtu edhe momenti i një force M janë pseudovektorë ose vektorë boshtorë .

Trupi i ngurtë

Prodhimi kryq shfaqet shpesh në përshkrimin e lëvizjeve të ngurta. Dy pika P dhe Q në një trup të ngurtë mund të lidhen me:

${\displaystyle \mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,}$ ku $\mathbf {r}$ është pozicioni i pikës, $\mathbf {v}$ është shpejtësia e tij dhe ${\boldsymbol {\omega }}$ është shpejtësia këndore e trupit. Që nga pozicioni \mathbf {r} dhe shpejtësia \mathbf {v} janë vektorë të vërtetë, shpejtësia këndore {\boldsymbol \omega } është një  pseudovektor ose vektor boshtor .

Forca e Lorencit

Prodhimi kryq përdoret për të përshkruar forcën e Lorencit të përjetuar nga një ngarkesë elektrike lëvizëse qe:

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$ Meqenëse shpejtësia v, forca F dhe fusha elektrike E janë të gjithë vektorë të vërtetë, fusha magnetike B është një pseudovektor .

Historia

Në 1773, Lagranzhi përdori formën përbërëse të prodhimeve pikë dhe kryq për të studiuar katërkëndëshin në tre dimensione. Në 1843, William Rowan Hamilton prezantoi produktin e kuaternioneve, dhe bashkë me të termat vektor dhe skalar . Duke pasur parasysh dy kuaternione [0, u] dhe [0, v], ku u dhe v janë vektorë në R3, produkti i tyre kuaternion mund të përmblidhet si [−u ⋅ v, u × v] . James Clerk Maxwell përdori mjetet e kuaternionit të Hamiltonit për të zhvilluar ekuacionet e tij të famshme të elektromagnetizmit, dhe për këtë dhe arsye të tjera kuaternionet për një kohë ishin një pjesë thelbësore e edukimit të fizikës.