Jump to content

Fraktali

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Bashkësia Mandelbrot e vendosur në ishuj
Bashkësia Mandelbrot : kufiri i saj është një kurbë fraktale me dimensionin Hausdorff 2. (Vini re se pjesët me ngjyra të imazhit nuk janë në të vërtetë pjesë e bashkësisë Mandelbrot, por ato bazohen në atë se sa shpejt ndryshon funksioni që e prodhon atë.)
Zmadhim në kufirin e grupit Mandelbrot

matematikë, një fraktal është një formë gjeometrike që përmban strukturë të hollësishme në shkallë arbitrarisht të vogla, që zakonisht kanë një dimension fraktal që tejkalon rreptësisht dimensionin topologjik . Shumë fraktale duken të ngjashme në shkallë të ndryshme, siç ilustrohet në zmadhimet e njëpasnjëshme të bashkësisë Mandelbrot . [1] [2] [3] [4] Kjo ekspozitë e modeleve të ngjashme në shkallë gjithnjë e më të vogla quhet vetëngjashmëri, e njohur gjithashtu si simetri në zgjerim ose simetri e shpalosur; nëse ky përsëritje është saktësisht i njëjtë në çdo shkallë, si në sfungjerin Menger, forma quhet afine e vetëngjashme. [5] Gjeometria fraktale shtrihet në degën matematikore të teorisë së masës .

Një mënyrë që fraktalet janë të ndryshëm nga figurat gjeometrike të fundme është se si ato shkallëzohen . Dyfishimi i gjatësisë së skajit të një shumëkëndëshi të mbushur e katërfishon sipërfaqen e tij, që është dy (raporti i gjatësisë së anës së re me të vjetër) i ngritur në fuqinë e dy (dimensioni konvencional i shumëkëndëshit të mbushur). Po kështu, nëse rrezja e një sfere të mbushur dyfishohet, vëllimi i saj shkallëzohet me tetë, që është dy (raporti i rrezes së re me atë të vjetër) me fuqinë e tre (dimensioni konvencional i sferës së mbushur). Megjithatë, nëse gjatësitë njëdimensionale të një fraktali dyfishohen të gjitha, përmbajtja hapësinore e fraktalit shkallëzon me një fuqi që nuk është domosdoshmërisht një numër i plotë dhe në përgjithësi është më i madh se dimensioni i tij konvencional. [1] Kjo fuqi quhet dimensioni fraktal i objektit gjeometrik, për ta dalluar atë nga dimensioni konvencional (i cili zyrtarisht quhet dimension topologjik ). [6]

Analitikisht, shumë fraktale nuk mund të diferencohen askund. [1] [4] Një kurbë fraktale e pafundme mund të konceptohet si dredha-dredha nëpër hapësirë ndryshe nga një vijë e zakonshme - megjithëse është ende topologjikisht 1-dimensionale, dimensioni i saj fraktal tregon se ajo mbush hapësirën në mënyrë më efikase sesa një vijë e zakonshme. [1] [6]

Tapeti i Sierpinskit (deri në nivelin 6), një fraktal me një dimension topologjik 1 dhe një dimension Hausdorff prej 1,893

Duke filluar nga shekulli i 17-të me nocionet e rekursionit, fraktalet kanë kaluar përmes një trajtimi matematikor gjithnjë e më rigoroz në studimin e funksioneve të vazhdueshme por jo të diferencueshme në shekullin e 19-të nga puna kryesore e Bernard Bolzanos, Bernhard Riemannit dhe Karl Vajershtrasit, [7] dhe në krijimin e fjalës fractal në shekullin e 20-të me një rritje të mëvonshme të interesit për fraktale dhe modelimin e bazuar në kompjuter në shekullin e 20-të. [8] [9]

Konsensusi midis matematikanëve është se fraktalet teorike janë konstruksione matematikore të përsëritura dhe të detajuara pafundësisht të ngjashme me vetveten, nga të cilat shumë shembuj janë formuluar dhe studiuar. [1] [2] [3] Fraktalet nuk kufizohen në modele gjeometrike, por gjithashtu mund të përshkruajnë proceset në kohë. [5] [4] [10] [11] [12] [13] Modelet fraktale me shkallë të ndryshme të vetëngjashmërisë janë dhënë ose studiuar në media vizuale, fizike dhe dëgjimore [14] dhe janë gjetur në natyrë, [15] [16] [17] teknologji, [18] [19] [20] art, [21] [22] dhe arkitekturë . [23] Fraktalet janë të një rëndësie të veçantë në fushën e teorisë së kaosit, sepse ato shfaqen në përshkrimet gjeometrike të shumicës së proceseve kaotike (zakonisht ose si tërheqës ose si kufij midis pellgjeve tërheqëse). [24]

  1. ^ a b c d e Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Mandelbrot1983" defined multiple times with different content
  2. ^ a b Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. fq. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Falconer" defined multiple times with different content
  3. ^ a b Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson. fq. 148. ISBN 978-0-500-27693-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "patterns" defined multiple times with different content
  4. ^ a b c Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. fq. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "vicsek" defined multiple times with different content
  5. ^ a b Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Gouyet" defined multiple times with different content
  6. ^ a b Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos. Berlin: Springer. fq. 38. ISBN 978-0-387-20158-0. A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name "Mandelbrot Chaos" defined multiple times with different content
  7. ^ Segal, S. L. (qershor 1978). "Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued". The Mathematical Intelligencer. 1 (2): 81–82. doi:10.1007/BF03023065. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  8. ^ Edgar, Gerald (2004). Classics on Fractals. Boulder, CO: Westview Press. ISBN 978-0-8133-4153-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  9. ^ Trochet, Holly (2009). "A History of Fractal Geometry". MacTutor History of Mathematics. Arkivuar nga origjinali më mars 12, 2012. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  10. ^ Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  11. ^ Krapivsky, P. L.; Ben-Naim, E. (1994). "Multiscaling in Stochastic Fractals". Physics Letters A. 196 (3–4): 168. Bibcode:1994PhLA..196..168K. doi:10.1016/0375-9601(94)91220-3. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  12. ^ Hassan, M. K.; Rodgers, G. J. (1995). "Models of fragmentation and stochastic fractals". Physics Letters A. 208 (1–2): 95. Bibcode:1995PhLA..208...95H. doi:10.1016/0375-9601(95)00727-k. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  13. ^ Hassan, M. K.; Pavel, N. I.; Pandit, R. K.; Kurths, J. (2014). "Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart". Chaos, Solitons & Fractals. 60: 31–39. arXiv:1401.0249. Bibcode:2014CSF....60...31H. doi:10.1016/j.chaos.2013.12.010. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  14. ^ Brothers, Harlan J. (2007). "Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3". Fractals. 15 (1): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  15. ^ Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). "Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging". Biophysical Journal. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ....85.4041L. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704. PMID 14645092. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  16. ^ Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). "Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder". Fractals. 16 (2): 103. doi:10.1142/S0218348X08003880. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  17. ^ Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). "MicroMod-an L-systems approach to neural modelling". përmbledhur nga Sarker, Ruhul (red.). Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU. University of New South Wales. ISBN 978-0-7317-0505-4. OCLC 224846454. Marrë më shkurt 3, 2012. Event location: Canberra, Australia {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  18. ^ Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). "Multifractal characterization of urban residential land price in space and time". Applied Geography. 34: 161–170. Bibcode:2012AppGe..34..161H. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  19. ^ Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). "Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice". Clinical Ophthalmology. 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMC 2698675. PMID 19668394. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  20. ^ Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  21. ^ Wallace, David Foster (gusht 4, 2006). "Bookworm on KCRW". Kcrw.com. Arkivuar nga origjinali më nëntor 11, 2010. Marrë më tetor 17, 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  22. ^ Eglash, Ron (1999). "African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design". New Brunswick: Rutgers University Press. Arkivuar nga origjinali më janar 3, 2018. Marrë më tetor 17, 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  23. ^ Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture Birhauser, Basel. doi:10.1007/978-3-319-32426-5.
  24. ^ Baranger, Michael. "Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists" (PDF). {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)