Logaritmi natyror

Logaritmi natyror i një numri është logaritmi i tij me bazë numrin e Neperit e, i cili është një numër irracional dhe transhendent afërsisht i barabartë me 2.718281 828 459 . Logaritmi natyror i $x$ në përgjithësi shkruhet si $\ln x$ , $\log _{e}x$ , ose ndonjëherë, nëse baza e është e nënkuptuar, thjesht $\log x$ . ^[1] ^[2] Kllapat ndonjëherë shtohen për qartësi, duke dhënë $\ln(x)$ , $\log _{e}(x)$ ose $\log(x)$ . Kjo bëhet veçanërisht kur argumenti i logaritmit nuk është një simbol i vetëm, në mënyrë që të parandalohet paqartësia.

Logaritmi natyror i $x$ është fuqia në të cilën do të duhej të ngrihej numri i Neperit baraz $x$ . Për shembull, $\ln(7.5)$ është 2.0149... , sepse $e^{2.0149}$ . Logaritmi natyror i vetë $e$ , $\ln(e)$ , është 1, sepse $e^{1}=e$ , ndërsa logaritmi natyror i 1 është 0, pasi $e^{0}=1$ .

Logaritmi natyror mund të përcaktohet për çdo numër real pozitiv $a$ si zona nën lakoren $y=1/x$ nga 1 në a ^[3] (me sipërfaqen negative kur $0<a<1$ ). Thjeshtësia e këtij përkufizimi, i cili përputhet në shumë formula të tjera që përfshijnë logaritmin natyror, çon në termin "natyror". Përkufizimi i logaritmit natyror më pas mund të zgjerohet për të dhënë vlera logaritmesh për numrat negativë dhe për të gjithë numrat kompleks jozero, megjithëse kjo çon në një funksion me shumë vlera.

Funksioni i logaritmit natyror, nëse konsiderohet si një funksion me vlera reale të një ndryshoreje reale pozitive, është funksioni i anasjelltë i funksionit eksponencial, duke çuar në identitetet:

{\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ nëse }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ nëse }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}

Ashtu si të gjithë logaritmet, logaritmi natyror hartëzon shumëzimin e numrave pozitivë në mbledhje:

\ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.

^[4]

Logaritmet mund të përcaktohen për çdo bazë pozitive përveç 1, jo vetëm $e$ . Sidoqoftë, logaritmet në baza të tjera ndryshojnë vetëm nga një shumëzues konstant nga logaritmi natyror dhe mund të përkufizohen në termat e këtij të fundit, $\log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e$ .

Përkufizimet

Logaritmi natyror mund të përkufizohet në disa mënyra të njëvlershme.

I anasjellti i eksponencialit

Përkufizimi më i përgjithshëm është si funksioni i anasjelltë i $e^{x}$ , kështu që $e^{\ln(x)}=x$ . Meqënëse $e^{x}$ është pozitiv dhe i kthyeshëm për çdo input real $x$ , ky përkufizim i $\ln(x)$ është e përcaktuar mirë për çdo $x$ pozitiv. Për numrat kompleksë, $e^{z}$ nuk është i kthyeshëm, pra $\ln(z)$ është një funksion me shumë vlera . Për të bërë $\ln(z)$ një funksion të vërtetë, me një dalje të vetme, prandaj ne duhet ta kufizojmë atë në një degë të veçantë kryesore, shpesh të shënuar me $\operatorname {Ln} (z)$ . Si funksion i anasjelltë i $e^{z}$ , $\ln(z)$ mund të përkufizohet duke përmbysur përkufizimin e zakonshëm të $e^{z}$ :

e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}

Duke vepruar kështu jep:

\ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)

Përkufizimi integral

Zona nën hiperbolë plotëson rregullin e logaritmit. Këtu $A(s,t)$ tregon zonën nën hiperbolën midis $s$ dhe $t$ .

Logaritmi natyror i një numri pozitiv, real a mund të përkufizohet si zona nën grafikun e hiperbolës me ekuacionin $y=1/x$ ndërmjet x = 1 dhe x = a . Ky është integrali ^[3]

\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.

Vetitë

Logaritmi natyror ka këto veti matematikore:

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{për }}\;x>0\;{\text{dhe }}\;y>0$
$\ln(x/y)=\ln x-\ln y$
$\ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{për }}\;x>0$
$\ln x<\ln y\quad {\text{për }}\;0<x<y$
$\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
$\lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{për}}\;x>0$
${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{për}}\quad x>0$
$\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{për}}\quad x\geq 0\;{\text{dhe}}\;\alpha \geq 1$

Derivati

Derivati i logaritmit natyror si një funksion me vlerë reale në realet pozitive jepet nga ^[3]

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.

Seria

Polinomet e Tejlorit për $\ln(1+x)$ jepni vetëm përafërsi të sakta në diapazonin $-1<x\leq 1$ . Përtej disa $x>1$ , polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë janë përafrime gjithnjë e më *të këqija* .

Meqenëse logaritmi natyror është i papërcaktuar në 0, $\ln(x)$ në vetvete nuk ka një seri Maclaurin, ndryshe nga shumë funksione të tjera elementare. Në vend të kësaj, kërkohen zgjerimet e Tejlorit rreth pikave të tjera. Për shembull, nëse $\vert x-1\vert \leq 1{\text{ dhe }}x\neq 0,$ atëherë ^[5]

{\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}

Kjo është seria e Tejlorit për $\ln x$ rreth 1. Një këmbim i ndryshoreve jep serinë Mercator :

\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,

Logaritmi natyror në integrim

Logaritmi natyror lejon integrimin e thjeshtë të funksioneve të formës $g(x)=f'(x)/f(x)$ : një antideriv i $g(x)$ jepet nga $\ln(|f(x)|)$ . Ky është rasti për shkak të rregullit të zinxhirit dhe faktit të mëposhtëm:

{\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0

Me fjalë të tjera, kur integrohet mbi një interval të vijës reale që nuk përfshin $x=0$ pastaj

\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C

ku $C$ është një konstante arbitrare e integrimit . ^[6] Po kështu, kur integrali është mbi një interval ku $f(x)\neq 0$ ,

\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.

Për shembull, merrni parasysh integralin e $\tan(x)$ mbi një interval që nuk përfshin pikat ku $\tan(x)$ është e pafundme:

\int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.

Logaritmi natyror mund të integrohet duke përdorur integrimin me pjesë :

\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.

Le të jetë:

u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}

dv=dx\Rightarrow v=x

atëherë:

{\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}

^ G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
^ Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (bot. 3rd). Academic Press. fq. 9. ISBN 0-12-508347-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 9
^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-29. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":1" defined multiple times with different content
^ "Rules, Examples, & Formulas". Encyclopedia Britannica (në anglisht). Marrë më 2020-08-29.
^ ""Logarithmic Expansions" at Math2.org". {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ For a detailed proof see for instance: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

[1] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".

[2] Mortimer, Robert G. (2005). Mathematics for physical chemistry (bot. 3rd). Academic Press. fq. 9. ISBN 0-12-508347-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 9

[:1-3] Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-29. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":1" defined multiple times with different content

[:2-4] "Rules, Examples, & Formulas". Encyclopedia Britannica (në anglisht). Marrë më 2020-08-29.

[5] ""Logarithmic Expansions" at Math2.org". {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[6] For a detailed proof see for instance: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]