Matrica idempotente

Në algjebër lineare, një matricë idempotente është një matricë e cila, kur shumëzohet me vetveten, jep vetveten. Kjo është, matrica $A$ është idempotent atëherë dhe vetëm atëherë kur $A^{2}=A$ . Për këtë prodhim $A^{2}$ për t'u përcaktuar, $A$ duhet të jetë domosdoshmërisht një matricë katrore . Shikuar në këtë mënyrë, matricat idempotente janë elemente idempotente të unazave të matricës .

Shembull

Shembuj të matricave idempotente $2\times 2$ janë: $${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}$$

Shembuj të matricave idempotente $3\times 3$ janë: $${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}$$

Rasti real 2 × 2

Nëse një matricë ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ është idempotent, atëherë

• $a=a^{2}+bc,$
• $b=ab+bd,$ duke nënkuptuar $b(1-a-d)=0$ pra $b=0$ ose $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ duke nënkuptuar $c(1-a-d)=0$ pra $c=0$ ose $d=1-a,$
• $d=bc+d^{2}.$

Kështu, një kusht i domosdoshëm për një $2\times 2$ matrica të jetë idempotente është që ose është diagonale ose gjurma e saj është e barabartë me 1. Për matricat diagonale idempotente, $a$ dhe $d$ duhet të jetë ose 1 ose 0.

Nëse $b=c$, matrica ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ do të jetë i pafuqishëm me kusht $a^{2}+b^{2}=a,$ kështu që a plotëson ekuacionin kuadratik

$a^{2}-a+b^{2}=0,$ ose $\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}$

i cili është një rreth me qendër (1/2, 0) dhe rreze 1/2. Për sa i përket këndit θ ,

$A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$ është idempotente.

Megjithatë, $b=c$ nuk është kusht i domosdoshëm: çdo matricë

${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ me $a^{2}+bc=a$ është idempotente.

Zbatimet

Matricat idempotente shfaqen shpesh në analizën e regresit dhe në ekonometri . Për shembull, në katrorët më të vegjël të zakonshëm, problemi i regresit është zgjedhja e një vektori β të vlerësimeve të koeficientëve në mënyrë që të minimizohet shuma e mbetjeve në katror (parashikime të gabuara) e_i : në formën e matricës,

Min. $(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )$

ku $y$ është një vektor i vëzhgimeve të ndryshoreve të varura, dhe $X$ është një matricë secila nga kolonat e së cilës është një kolonë vëzhgimesh në një nga ndryshoret e pavarura . Vlerësuesi që rezulton është

${\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y$