Përdoruesi:Fatjeta Gashi/Funksioni eksponencial

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search
Funksioni eksponencial natyror y = e^x
Funksionet eksponenciale me bazat 2 dhe 1/2

matematikë, një funksion eksponencial është një funksion i formës:

f(x)=ab^x

ku b është një numër real pozitiv jo i barabartë me 1, dhe argumenti apo ndyshorja x paraqitet si eksponent. Për numrat real c dhe d, një funksion i formës është gjithashtu një funksion eksponencial, pasi që mund të rishkruhet si

Për b > 1, funksioni është në rritje (është rritës,siç përshkruhet për b = e dhe b = 2 ), sepse e bën derivatin gjithmonë pozitiv; ndërsa për b <1, funksioni është në zvogëlim(është zvogëues,siç përshkruhet për b = 1/2); dhe për b = 1 funksioni është konstant.

Grafiku i është i pjerrët lart, dhe rritet më shpejt kur x rritet. [1] Grafiku qëndron gjithmonë mbi boshtet x, por bëhet afër tij në mënyrë arbitrare për x mëdha negative; kështu, aksi x është një asimptotë horizontale. Ekuacioni do të thotë që pjerrësia e tangjentës në grafik në secilën pikë është e barabartë me y -kordinatën e saj në atë pikë. Funksioni i tij i anasjelltë është logaritmi natyror, i shënuar ose për shkak të kësaj, disa tekste të vjetra referohen funksionit eksponencial si antilogaritmi .

Mund të tregohet se çdo zgjidhje e vazhdueshme, jo zero e ekuacionit funksional është një funksion eksponencial, me Identiteti shumëzues, së bashku me përkufizimin , tregon se për numrat e plotë pozitivë n, që lidhin funksionin eksponencial me nocionin themelor të eksponentimit.

Argumenti i funksionit eksponencial mund të jetë çdo numër real ose kompleks, apo edhe një lloj krejtësisht i ndryshëm i objektit matematikor (p.sh., matrica ).

Ndodhja e kudondodhur e funksionit eksponencial në matematikën e pastër dhe të zbatuar e ka çuar matematikanin W. Rudin të mendojë se funksioni eksponencial është "funksioni më i rëndësishëm në matematikë". Në cilësimet e aplikuara, funksionet eksponenciale modelojnë një marrëdhënie në të cilën një ndryshim i vazhdueshëm në ndryshoren e pavarur jep të njëjtin ndryshim proporcional (dmth., Rritja ose zvogëlimi i përqindjes) në ndryshoren e varur. Kjo ndodh gjerësisht në shkencat natyrore dhe shoqërore, si në një popullsi vetë-riprodhuese, një fond që grumbullon interes të përbërë, ose një organ në rritje të ekspertizës së prodhimit . Kështu, funksioni eksponencial shfaqet gjithashtu në një larmi kontekstesh brenda fizikës, kimisë, inxhinierisë, biologjisë matematikore dhe ekonomisë .

Përkufizimi zyrtar[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni eksponencial (në blu), dhe shuma e termave të parë n + 1 të serisë së tij të energjisë (me të kuqe).

Funksioni real eksponencial mund të karakterizohet në një larmi mënyrash ekuivalente. Zakonisht përcaktohet nga seritë e mëposhtme të energjisë : [2]

Meqenëse rrezja e konvergjencës së kësaj serie fuqie është e pafund, ky përkufizim është, në fakt, i zbatueshëm për të gjithë numrat kompleksë (shih § Complex plane për zgjatjen e në planin kompleks). Konstantja e pastaj mund të përkufizohet si

Diferencimi term pas termi i kësaj serie fuqie zbulon se për të gjithë x reale, duke çuar në një karakterizim tjetër të përbashkët të si zgjidhje unike e ekuacionit diferencial

duke përmbushur kushtin fillestar

Bazuar në këtë karakterizim, rregulli i zinxhirit tregon se funksioni i tij i anasjelltë, logaritmi natyror, kënaq për ose Kjo marrëdhënie çon në një përkufizim më pak të zakonshëm të funksionit real eksponencial si zgjidhje te ekuacioni

Me anë të teoremësbinomit dhe përcaktimit të serisë së energjisë, funksioni eksponencial mund të përcaktohet gjithashtu si kufiri vijues: [2]

Përmbledhje[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Lakorja e kuqe është funksioni eksponencial. Vijat e zeza horizontale tregojnë se ku kalon vijat vertikale të gjelbërta.

Funksioni eksponencial lind sa herë që një sasi rritet ose prishet në një normë proporcionale me vlerën e saj aktuale. Një situatë e tillë është interesi i përbërë vazhdimisht, dhe në fakt ishte kjo vëzhgim që e çoi Jacob Bernoulli në 1683 në numrin

tani njihet si e . Më vonë, në 1697, Johann Bernoulli studioi gurin e funksionit eksponencial.

Derivati (shkalla e ndryshimit) e funksionit eksponencial është vetë funksioni eksponencial. Në përgjithësi, një funksion me një normë ndryshimi proporcional me vetë funksionin (në vend se i barabartë me të) është i shprehur në aspektin e funksionit eksponencial. Kjo veti e funksionit çon në rritje eksponenciale ose prishje eksponenciale .

Funksioni eksponencial shtrihet në një funksion të tërë në planin kompleks . Formula e Euler lidh vlerat e saj me argumente thjesht imagjinare me funksionet trigonometrike . Funksioni eksponencial gjithashtu ka analoge për të cilat argumenti është një matricë, apo edhe një element i një algjebra Banach ose një algjebër Lie .

Derivatet dhe ekuacionet diferenciale[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Derivati i funksionit eksponencial është i barabartë me vlerën e funksionit. Nga çdo pikë P në kurbë (blu), le të vizatohet një vijë tangjente (e kuqe), dhe një vijë vertikale (jeshile) me lartësi h, duke formuar një trekëndësh kënddrejtë me një bazë b në boshtin x . Meqenëse pjerrësia e vijës së kuqe tangjente (derivati) në P është e barabartë me raportin e lartësisë së trekëndëshit me bazën e trekëndëshit (ngritje mbi vrapim), dhe derivati është i barabartë me vlerën e funksionit, h duhet të jetë e barabartë me raporti i h me b . Prandaj, baza b duhet të jetë gjithmonë 1

Rëndësia e funksionit eksponencial në matematikë dhe shkenca buron kryesisht nga vetia e tij si funksion unik i cili është i barabartë me derivatin e tij dhe është i barabartë me 1 kur x = 0 . Kjo eshte,

Funksionet e formës ce x për konstante c janë funksionet e vetme që janë të barabarta me derivatin e tyre (nga teorema Picard – Lindelöf ). Mënyra të tjera për të thënë të njëjtën gjë përfshijnë:

  • Pjerrësia e grafikut në çdo pikë është lartësia e funksionit në atë pikë.
  • Shkalla e rritjes së funksionit në x është e barabartë me vlerën e funksionit në x .
  • Funksioni zgjidh ekuacionin diferencial y ′ = y .
  • Shembull është një pikë fikse e derivatit si funksionale .

Nëse rritja ose prishja e një variabli është proporcionale me madhësinë e saj - siç është rasti në rritjen e pakufizuar të popullsisë (shih katastrofën Malthusian ), interesi i përbërë vazhdimisht ose prishja radioaktive - atëherë variabla mund të shkruhet si një kohë konstante e një funksioni eksponencial të kohës . Në mënyrë të qartë për çdo konstante reale k, një funksion f : R → R kënaq f ′ = kf nëse dhe vetëm nëse f ( x ) = ce^kx për disa c konstante. Konstanta k quhet konstanta, konstante e shpërbërjes, [3] konstante e shpejtësisë, [4] ose konstante e transformimit . [5]

Për më tepër, për çdo funksion të diferencueshëm f ( x ), nga rregulli i zinxhirit gjejmë:

Fraksionet e vazhdueshme për [Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një fraksion i vazhdueshëm për e x mund të merret përmes një identiteti të Euler :

Fraksioni i vijuar i përgjithësuar i vazhduar për konvergon më shpejt:

ose në rastet kur z=2:

Llogaritja[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kur llogaritni (një përafrim të) funksionit eksponencial pranë argumentit 0, rezultati do të jetë afër 1, dhe llogaritjen e vlerës së diferencës me aritmetikë me pikë lundruese mund të çojë në humbjen e (ndoshta të gjitha) figurave të rëndësishme, duke prodhuar një gabim të madh llogaritje, ndoshta edhe një rezultat të pakuptimtë.

Pas një propozimi nga William Kahan, mund të jetë e dobishme të kesh një rutinë të dedikuar, shpesh të quajtur expm1, për llogaritjen ex - 1 direkt, duke anashkaluar llogaritjen e e x . Për shembull, nëse eksponenciali llogaritet duke përdorur seritë e tij Taylor

dikush mund të përdorë serinë Taylor të

Kjo u zbatua për herë të parë në vitin 1979 në llogaritësin Hewlett-Packard HP-41C, dhe u sigurua nga disa kalkulatorë, sisteme operative (për shembull Berkeley UNIX 4.3BSD ), sisteme algjebra kompjuterike dhe gjuhë programimi ( për shembull C99 ).

Përveç bazës e, standardi IEEE 754-2008 përcakton funksione të ngjashme eksponenciale afër 0 për bazën 2 dhe 10: dhe .

Një qasje e ngjashme është përdorur për logaritmin (shih lnp1 ).

Një identitet në lidhje me tangjentën hiperbolike ,

jep një vlerë me precizion të lartë për vlerat e vogla të x në sistemet që nuk zbatojnë expm1(x ) .

Referencat[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  1. ^ "Exponential Function Reference". www.mathsisfun.com. Marrë më 2020-08-28. Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Exponential Function". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-28.
  3. ^ Serway (1989, f. 384) Gabim me harvtxt - Nuk ka shënjestrim CITEREFSerway1989 (Ndihmë!)
  4. ^ Simmons (1972, f. 15) Gabim me harvtxt - Nuk ka shënjestrim CITEREFSimmons1972 (Ndihmë!)
  5. ^ McGraw-Hill (2007) Gabim me harvtxt - Nuk ka shënjestrim CITEREFMcGraw-Hill2007 (Ndihmë!)

Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Goldstein_2006" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Courant_1996" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Durell_1911" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Rudin_1976" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Rudin_1987" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Maor" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "O'Connor_2001" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Lorentzen_2008" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Apostol_1974" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Beebe_2002" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "Beebe_2017" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "HP48_AUR" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.

Gabim referencash: <ref> etiketa me emrin "HP50_AUR" e percaktuar ne <referenca> nuk është përdorur në tekst paraprak.
  • McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
  • Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
  • Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

Linqe te jashtme[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  • "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • "Complex exponential function". PlanetMath.
  • "Derivative of exponential function". PlanetMath.

[[Kategoria:Category:Matematikë]] [[Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara]]