Zero e një funksioni

Grafiku i funksionit $\cos(x)$ për $x$ në $\left[-2\pi ,2\pi \right]$, me zerot tek $-{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}$, dhe ${\tfrac {3\pi }{2}},$ të shënuar me të kuqe.

Në matematikë, një zero (nganjëherë quhet edhe rrënjë ) e një funksioni real -, kompleks - ose përgjithësisht me vlera vektoriale. $f$, është anëtar $x$ të bashkëssë së përcaktimit të $f$ të tilla që $f(x)$ zhduket në $x$ ; pra funksioni $f$ arrin vlerën 0 në $x$, ose në mënyrë të barabartë, $x$ është një zgjidhje e ekuacionit $f(x)=0$ . Një "zero" e një funksioni është kështu një vlerë hyrëse që prodhon një dalje prej 0.

Një rrënjë e një polinomi është një zero e funksionit polinomial përkatës. Teorema themelore e algjebrës tregon se çdo polinomi jo zero ka një numër rrënjësh maksimumi të barabartë me shkallën e tij, dhe se numri i rrënjëve dhe shkalla janë të barabarta kur merren parasysh rrënjët komplekse (ose më në përgjithësi, rrënjët në një shtrirje e mbyllur algjebrike ) të numëruara me shumëzimet e tyre . Për shembull, polinomi $f$ e shkallës së dytë, e përcaktuar nga $f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ ka dy rrënjët (ose zerat) që janë 2 dhe 3 . $$f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ dhe }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.$$Nëse funksioni lidh numrat realë me numrat realë, atëherë zerot e tij janë $x$ -koordinatat e pikave ku grafiku i tij takohet me boshtin x . Një emër alternativ për një pikë të tillë $(x,0)$ në këtë kontekst është një prerje me $x$.

Zgjidhja e një ekuacioni

Çdo ekuacion me të panjohur $x$ mund të rishkruhet si

$f(x)=0$

duke rigrupuar të gjithë termat në anën e majtë. Nga kjo rezulton se zgjidhjet e një ekuacioni të tillë janë pikërisht zerot e funksionit $f$ . Me fjalë të tjera, një "zero e një funksioni" është pikërisht një "zgjidhje e ekuacionit të marrë duke barazuar funksionin me 0", dhe studimi i zerove të funksioneve është saktësisht i njëjtë me studimin e zgjidhjeve të ekuacioneve.

Bashkësia zero

Në fusha të ndryshme të matematikës, bashkësia zero e një funksioni është bashkësia e të gjitha zerove të tij. Më saktë, nëse $f:X\to \mathbb {R}$ është një funksion me vlera reale (ose, në përgjithësi, një funksion që merr vlera në disa grupe shtesë ), grupi i tij zero është $f^{-1}(0)$, imazhi i kundërt i $\{0\}$ në $X$ .

Për shembull, njësia $m$ - sferë në $\mathbb {R} ^{m+1}$ është bashkësia zero e funksionit me vlerë reale $f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1$ .

Zbatimet

Në gjeometrinë algjebrike, përkufizimi i parë i një varieteti algjebrik është përmes bashkësive zero. Në mënyrë të veçantë, një bashkësi afinale algjebrike është kryqëzimi i grupeve zero të disa polinomeve, në një unazë polinomiale $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ mbi një fushë . Në këtë kontekst, një grup zero nganjëherë quhet vendndodhja zero .

Në analizë dhe gjeometri, çdo nënbashkësi e mbyllur i $\mathbb {R} ^{n}$ është bashkësia zero e një funksioni të lëmuar të përcaktuar në të gjitha $\mathbb {R} ^{n}$ . Kjo shtrihet në çdo shumëfish të lëmuar si pasojë e parakompaktësisë .

Në gjeometrinë diferenciale, grupet zero përdoren shpesh për të përcaktuar durthet . Një rast i rëndësishëm i veçantë është rasti që $f$ është një funksion i lëmuar nga $\mathbb {R} ^{p}$ te $\mathbb {R} ^{n}$ . Nëse zero është një vlerë e rregullt e $f$, pastaj grupi zero i $f$ është një shumëfish i lëmuar i dimensionit $m=p-n$ nga teorema e vlerës së rregullt .