Formula e Heronit

Një trekëndësh me brinjë a, b dhe c

Në gjeometri, formula e Heronit (ose formula e Heroit ) jep syprinën A të një trekëndëshi në terma të tre gjatësive të brinjëve a, b, c . Nëse ${\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ është gjysmëperimetri i trekëndëshit, sipërfaqja është,

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.$

Ai është emëruar sipas inxhinierit të shekullit të parë Heronit të Aleksandrisë (ose Heroi) i cili e vërtetoi atë në veprën e tij Metrica, megjithëse ndoshta ishte e njohur shekuj më parë.

Shembull

Le të jetë △ABC trekëndëshi me brinjë a = 4, b = 13 dhe c = 15 . Gjysmëperimetri i këtij trekëndëshi është:

$s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16$

dhe kështu është syprina është

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}$

Në këtë shembull, gjatësitë e brinjëve dhe syprina janë numra të plotë, duke e bërë atë një trekëndësh Heronian . Sidoqoftë, formula e Heronit funksionon po aq mirë në rastet kur një ose më shumë nga gjatësitë e brinjëve nuk janë numra të plotë.

Shprehje alternative

Formula e Heronit gjithashtu mund të shkruhet vetëm në lidhje me gjatësinë e brinjëve në vend të përdorimit të gjysmëperimetrit, në disa mënyra,

${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}$

I njëjti relacion mund të shprehet duke përdorur përcaktorin Cayley-Menger ,

$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.$

Vërtetimet

Vërtetimi trigonometrik duke përdorur ligjin e kosinusit

Një provë moderne, e cila përdor algjebërën dhe është krejt e ndryshme nga ajo e dhënë nga Heroni, vijon si më poshtë. Le të jenë a, b, c brinjët e trekëndëshit dhe α, β, γ këndet përballë atyre brinjëve. Duke zbatuar ligjin e kosinusit marrim

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

Nga kjo provë, marrim lidhjen algjebrike që

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.$

Lartësia e trekëndëshit në bazën a ka gjatësi b sin γ, dhe vijon

${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{bazë}})({\mbox{lartësi}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

Vërtetimi algjebrik duke përdorur teoremën e Pitagorës

Trekëndëshi me lartësi $h$ baza prerëse $c$ në $d+(c-d)$

Prova e mëposhtme është shumë e ngjashme me atë të dhënë nga Raifaizeni. Nga teorema e Pitagorës kemi $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ dhe $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$ sipas figurës në të djathtë. Nga zbritja e këtyre rezulton $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$ . Ky ekuacion na lejon të shprehim $d$ në terma të brinjëve të trekëndëshit:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Për lartësinë e trekëndëshit marrim $h^{2}=b^{2}-d^{2}$ . Duke zëvendësuar d me formulën e dhënë më sipër dhe duke zbatuar identitetin e diferencës së katrorëve, marrim

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}$

Tani e zbatojmë këtë rezultat në formulën që llogarit syprinën e një trekëndëshi nga lartësia e tij:

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}$

Qendrueshmëria numerike

Formula e Heronit siç është dhënë më sipër është numerikisht e paqëndrueshme për trekëndëshat me një kënd shumë të vogël kur përdoret aritmetika me presje notuese . Një alternativë e qëndrueshme përfshin rregullimin e gjatësive të anëve në mënyrë që a ≥ b ≥ c dhe llogaritjen

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.$

Kllapat në formulën e mësipërme kërkohen për të parandaluar paqëndrueshmërinë numerike në vlerësim.

Përgjithësimet

Katërkëndëshi ciklik

Formula e Heronit është një rast i veçantë i formulës së Brahmaguptës për sipërfaqen e një katërkëndëshi ciklik . Formula e Heronit dhe formula e Brahmaguptës janë të dyja raste të veçanta të formulës së Bretschneider-it për sipërfaqen e një katërkëndëshi . Formula e Heronit mund të merret nga formula e Brahmagupta-s ose formula e Bretschneider-it duke bërë zero njërën nga anët e katërkëndëshit.

Formula e Brahmagupta-s jep sipërfaqen K të një katërkëndëshi ciklik brinjët e të cilit kanë gjatësi a, b, c, d si më poshtë

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

ku s, gjysmëperimetri, është përcaktuar të jetë

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

Formula e tipit heron për vëllimin e një tetraedri

Nëse U, V, W, u, v, w janë gjatësitë e skajeve të tetraedrit (tre të parat formojnë një trekëndësh; u përballë U e kështu me radhë), atëherë

$V={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

ku shprehjet në të përkatësisht janë:

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}$

Formulat e Heronit në gjeometritë jo-Euklidiane

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjatësisë së brinjëve të tij për trekëndëshat në sferë ose planin hiperbolik . Për një trekëndësh në sferë me gjatësi anësore $a,b,c$, gjysmë perimetri $s=(a+b+c)/2$ dhe zona $S$ një formulë e tillë është

$$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}$$

ndërsa për rrafshin hiperbolik kemi

$$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.$$