Jump to content

Formula e Heronit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Një trekëndësh me brinjë a, b dhe c

gjeometri, formula e Heronit (ose formula e Heroit ) jep syprinën A të një trekëndëshi në terma të tre gjatësive të brinjëve a, b, c . Nëse është gjysmëperimetri i trekëndëshit, sipërfaqja është, [1]

Ai është emëruar sipas inxhinierit të shekullit të parë Heronit të Aleksandrisë (ose Heroi) i cili e vërtetoi atë në veprën e tij Metrica, megjithëse ndoshta ishte e njohur shekuj më parë.

Shembull[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë △ABC trekëndëshi me brinjë a = 4, b = 13 dhe c = 15 . Gjysmëperimetri i këtij trekëndëshi është:

dhe kështu është syprina është

Në këtë shembull, gjatësitë e brinjëve dhe syprina janë numra të plotë, duke e bërë atë një trekëndësh Heronian . Sidoqoftë, formula e Heronit funksionon po aq mirë në rastet kur një ose më shumë nga gjatësitë e brinjëve nuk janë numra të plotë.

Shprehje alternative[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Formula e Heronit gjithashtu mund të shkruhet vetëm në lidhje me gjatësinë e brinjëve në vend të përdorimit të gjysmëperimetrit, në disa mënyra,

I njëjti relacion mund të shprehet duke përdorur përcaktorin Cayley-Menger ,

Vërtetimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Vërtetimi trigonometrik duke përdorur ligjin e kosinusit[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një provë moderne, e cila përdor algjebërën dhe është krejt e ndryshme nga ajo e dhënë nga Heroni, vijon si më poshtë. [2] Le të jenë a, b, c brinjët e trekëndëshit dhe α, β, γ këndet përballë atyre brinjëve. Duke zbatuar ligjin e kosinusit marrim

Nga kjo provë, marrim lidhjen algjebrike që

Lartësia e trekëndëshit në bazën a ka gjatësi b sin γ, dhe vijon

Vërtetimi algjebrik duke përdorur teoremën e Pitagorës[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Trekëndëshi me lartësi baza prerëse

Prova e mëposhtme është shumë e ngjashme me atë të dhënë nga Raifaizeni. [3] Nga teorema e Pitagorës kemi dhe sipas figurës në të djathtë. Nga zbritja e këtyre rezulton . Ky ekuacion na lejon të shprehim në terma të brinjëve të trekëndëshit:

Për lartësinë e trekëndëshit marrim . Duke zëvendësuar d me formulën e dhënë më sipër dhe duke zbatuar identitetin e diferencës së katrorëve, marrim

Tani e zbatojmë këtë rezultat në formulën që llogarit syprinën e një trekëndëshi nga lartësia e tij:

Qendrueshmëria numerike[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Formula e Heronit siç është dhënë më sipër është numerikisht e paqëndrueshme për trekëndëshat me një kënd shumë të vogël kur përdoret aritmetika me presje notuese . Një alternativë e qëndrueshme [4] [5] përfshin rregullimin e gjatësive të anëve në mënyrë që a ≥ b ≥ c dhe llogaritjen

Kllapat në formulën e mësipërme kërkohen për të parandaluar paqëndrueshmërinë numerike në vlerësim.

Përgjithësimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Katërkëndëshi ciklik

Formula e Heronit është një rast i veçantë i formulës së Brahmaguptës për sipërfaqen e një katërkëndëshi ciklik . Formula e Heronit dhe formula e Brahmaguptës janë të dyja raste të veçanta të formulës së Bretschneider-it për sipërfaqen e një katërkëndëshi . Formula e Heronit mund të merret nga formula e Brahmagupta-s ose formula e Bretschneider-it duke bërë zero njërën nga anët e katërkëndëshit.

Formula e Brahmagupta-s jep sipërfaqen K të një katërkëndëshi ciklik brinjët e të cilit kanë gjatësi a, b, c, d si më poshtë

ku s, gjysmëperimetri, është përcaktuar të jetë

Formula e tipit heron për vëllimin e një tetraedri[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse U, V, W, u, v, w janë gjatësitë e skajeve të tetraedrit (tre të parat formojnë një trekëndësh; u përballë U e kështu me radhë), atëherë [6]

ku shprehjet në të përkatësisht janë:

Formulat e Heronit në gjeometritë jo-Euklidiane[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen e një trekëndëshi për sa i përket gjatësisë së brinjëve të tij për trekëndëshat në sferë ose planin hiperbolik . [7] Për një trekëndësh në sferë me gjatësi anësore , gjysmë perimetri dhe zona një formulë e tillë është

ndërsa për rrafshin hiperbolik kemi

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  1. ^ Kendig, Keith (2000). "Is a 2000-year-old formula still keeping some secrets?". The American Mathematical Monthly. 107 (5): 402–415. doi:10.1080/00029890.2000.12005213. JSTOR 2695295. MR 1763392. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  2. ^ Niven, Ivan (1981). Maxima and Minima Without Calculus. The Mathematical Association of America. fq. 7–8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ Raifaizen, Claude H. (1971). "A Simpler Proof of Heron's Formula". Mathematics Magazine. 44: 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  4. ^ Sterbenz, Pat H. (1974-05-01). Floating-Point Computation. Prentice-Hall Series in Automatic Computation (bot. 1st). Englewood Cliffs, New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-13-322495-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  5. ^ William M. Kahan (24 mars 2000). "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (PDF). {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  6. ^ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.
  7. ^ Page 66 in Alekseevskij, D. V.; Vinberg, E. B.; Solodovnikov, A. S. (1993), "Geometry of spaces of constant curvature", përmbledhur nga Gamkrelidze, R. V. (red.), Geometry. II: Spaces of constant curvature, Encycl. Math. Sci., vëll. 29, Springer-Verlag, fq. 1–138, ISBN 1-56085-072-8 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)