Funksioni kuantil

Probit është funksioni kuantil i shpërndarjes normale .

Në probabilitet dhe statistika, funksioni kuantile nxjerr vlerën e një ndryshoreje të rastit në mënyrë që probabiliteti i tij të jetë më i vogël ose i barabartë me një vlerë probabiliteti të hyrjes. Intuitivisht, funksioni kuantil lidhet me një gamë në dhe nën një hyrje probabiliteti, gjasat që një ndryshore e rasitt të realizohet në atë diapazon për disa shpërndarje probabiliteti. Quhet gjithashtu funksioni i përqindjes (pas përqindjes ), funksioni i pikës së përqindjes ose funksioni i shpërndarjes kumulative inverse (pas funksionit të shpërndarjes kumulative ).

E ç'është funksioni kuantil?

Funksioni i shpërndarjes rreptësisht monotonik

Duke iu referuar një funksioni të shpërndarjes mbledhëse të vazhdueshme dhe rreptësisht monotone $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ e një ndryshoreje të rastit $X$, funksioni kuantile $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ harton hyrjen e tij p në një vlerë pragu $x$ në mënyrë që probabiliteti që $X$ të jetë më i vogël ose i barabartë se $x$ është $p$ . Përsa i përket funksionit të shpërndarjes $F$, funksioni kuantil $Q$ kthen vlerën $x$ të tillë që

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

e cila mund të shkruhet si e anasjelltë e fmsh-së

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

Funksioni mbledhës i shpërndarjes (i paraqitur si F(x) ) jep vlerat p si funksion të vlerave q . Funksioni kuantile bën të kundërtën: jep vlerat q në funksion të vlerave p . Vini re se pjesa e F(x) në të kuqe është një segment i vijës horizontale.

Shembull i thjeshtë

Për shembull, funksioni kumulativ i shpërndarjes së Exponential( <i id="mwXw">λ</i> ) (dmth intensiteti λ dhe pritja matematike ( mesatarja ) 1/ λ ) është

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

Funksioni kuantile për Eksponencial ( λ ) nxirret duke gjetur vlerën e Q për të cilën $1-e^{-\lambda Q}=p$ :

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

për 0 ≤ p< 1. Prandaj, kuartilët janë:

kuartil i parë (p = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

mediana (p = 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

kuartil i tretë (p = 3/4)

$-\ln(1/4)/\lambda .\,$

Zbatimet

Funksionet kuantile përdoren si në aplikimet statistikore ashtu edhe në metodat Monte Carlo .

Funksioni kuantil është një mënyrë për të përshkruar një shpërndarje probabiliteti dhe është një alternativë ndaj funksionit të dendësisë së probabilitetit (pdf) ose funksionit të masës së probabilitetit, funksionit të shpërndarjes mbledhëse (cdf) dhe funksionit karakteristik . Funksioni kuantile, Q, i një shpërndarje probabiliteti është inversi i funksionit të shpërndarjes mbledhëse F. Derivati i funksionit kuantil, përkatësisht funksioni i densitetit sasior, është një mënyrë tjetër për të përshkruar një shpërndarje probabiliteti. Është reciproke e pdf-së e përbërë me funksionin kuantile.

Për zbatimet statistikore, përdoruesit duhet të dinë pikët kryesore të përqindjes të një shpërndarjeje të caktuar. Për shembull, ata kërkojnë mesoren dhe 25% dhe 75% si në shembullin e mësipërm ose nivelet 5%, 95%, 2.5%, 97.5% për aplikime të tjera si vlerësimi i rëndësisë statistikore të një vëzhgimi, shpërndarja e të cilit është e njohur; shih hyrjen kuantile . Përpara popullarizimit të kompjuterëve, nuk ishte e pazakontë që librat të kishin shtojca me tabela statistikore që kampiononin funksionin kuantile. Zbatimet statistikore të funksioneve kuantile janë diskutuar gjerësisht nga Gilchrist.

Llogaritja

Vlerësimi i funksioneve kuantile shpesh përfshin metoda numerike, të tilla si shpërndarja eksponenciale e mësipërme, e cila është një nga shpërndarjet e pakta ku mund të gjendet një shprehje në formë të mbyllur (të tjera përfshijnë uniformën, Weibull, Tukey lambda (që përfshin logjistikën ) dhe logjistike ). Kur vetë cdf-ja ka një shprehje me formë të mbyllur, gjithmonë mund të përdoret një algoritëm numerik për gjetjen e rrënjëve, siç është metoda e përgjysmimit për të përmbysur cdf-në. Algoritmet për shpërndarjet e zakonshme janë ndërtuar në shumë paketa softuerike statistikore .

Funksionet kuantile mund të karakterizohen gjithashtu si zgjidhje të ekuacioneve diferenciale të zakonshme dhe të pjesshme jolineare. Janë dhënë dhe zgjidhur ekuacionet diferenciale të zakonshme për rastet e shpërndarjes normale, Student, beta dhe gama .

Ekuacioni diferencial i zakonshëm për kuantilin normal

Mund të jepet një ekuacion diferencial i zakonshëm jolinear për kuantilin normal, w ( p ). Eshte

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

me kushtet e qendrës (fillestare).

$w\left(1/2\right)=0,\,$

$w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

Shpërndarja e Studentit

Ky ka qenë historikisht një nga rastet më të vështira, pasi prania e një parametri, ν, shkallët e lirisë, e bën të vështirë përdorimin e përafrimeve racionale dhe të tjera. Formulat e thjeshta ekzistojnë kur ν = 1, 2, 4 dhe problemi mund të reduktohet në zgjidhjen e një polinomi kur ν është çift. Në raste të tjera, funksionet kuantile mund të zhvillohen si seri fuqie. Rastet e thjeshta janë si më poshtë:

ν = 1 (shpërndarja Koshi)

$Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!$

ν = 2

$Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!$

ν = 4

$Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!$

ku

$q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!$

dhe

$\alpha =4p(1-p).\!$