Funksioni shkallë i Hevisajdit

Hapi i Hevisajdit
Funksioni i hapit Heaviside, duke përdorur konventën gjysmë-maksimum
Informacion i pergjithshem		Përkufizim i përgjithshëm	$$H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}$$
Fushat e zbatimit	Analiza matematike operacionale
Llogaritja operacionale

Funksioni shkallë i Hevisajdit, ose funksioni i shkallës njësi, zakonisht i shënuar me H ose θ (por ndonjëherë u, 1 ose 𝟙 ), është një funksion shkallë i quajtur sipas Oliver Heaviside, vlera e të cilit është zero për argumentet negative dhe një për argumentet jonegative. . Është një shembull i klasës së përgjithshme të funksioneve hapësore, të cilat të gjitha mund të përfaqësohen si kombinime lineare të translatimeve të këtij.

Funksioni u zhvillua fillimisht në analizën operacionale për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale, ku përfaqëson një sinjal që ndizet në një kohë të caktuar dhe qëndron i ndezur për një kohë të pacaktuar. Oliver Heaviside, i cili zhvilloi llogaritjen operacionale si një mjet në analizën e komunikimeve telegrafike, e përfaqësoi funksionin si 1 .

Funksioni Heaviside mund të përkufizohet si:

• një funksion pjesë-pjesë :
  $$H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}$$
• duke përdorur shënimin e kllapave Iverson :
  $$H(x):=[x\geq 0]$$
• një funksion tregues :
  $$H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)$$
• derivati i funksionit pjerrësi :
  $$H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0$$

Funksioni delta i Dirakut është derivat i funksionit të Hevisajdit

$$\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)$$

Prandaj, funksioni Heaviside mund të konsiderohet të jetë integrali i funksionit të delta-impulsit. Kjo ndonjëherë shkruhet si

$$H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds$$

megjithëse ky zgjerim mund të mos jetë (apo edhe të ketë kuptim) për x = 0, në varësi të formalizmit që përdoret për t'i dhënë kuptim integraleve që përfshijnë δ . Në këtë kontekst, funksioni i Hevisajdit është funksioni kumulativ i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit e cila është pothuajse me siguri 0. (Shih ndryshoren e rastit konstante .)

Në llogaritjen operacionale, përgjigjet e dobishme rrallë varen nga vlera e përdorur për H (0), pasi H përdoret kryesisht si shpërndarje . Megjithatë, zgjedhja mund të ketë disa pasoja të rëndësishme në analizën funksionale dhe teorinë e lojërave, ku konsiderohen forma më të përgjithshme të vazhdimësisë. Disa zgjedhje të zakonshme mund të shihen më poshtë.

Përafrimet me funksionin shkallë të Hevisajdit përdoren në biokimi dhe neuroshkencë, ku përafrimet logjistike të funksioneve të shkallës (siç janë ekuacionet Hill dhe Michaelis-Menten ) mund të përdoren për të përafruar çelsat binar qelizorë në përgjigje të sinjaleve kimike.

Përafrime analitike

${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}$

i afrohet funksionit shkallë kur k → ∞ .

Për një përafrim të lëmuar me funksionin shkallë, mund të përdoret funksioni logjistik

$$H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},$$

ku një k më e madhe korrespondon me një kalim më të mprehtë në x = 0 . Nëse marrim H (0) =, barazimi vlen në limitin

$$H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.$$

Ka shumë përafrime të tjera të lëmuara, analitike për funksionin shkallë. Ndër mundësitë janë:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}$$

Paraqitjet integrale

Shpesh një paraqitje integrale e funksionit shkallë të Hevisajdit është e dobishme:

$${\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}$$

Forma diskrete

Një formë alternative e hapit të njësisë, e përcaktuar në vend të kësaj si një funksion $H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R}$ (domethënë, duke marrë një ndryshore diskrete n ), është:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}$$

ose duke përdorur konventën gjysmë maksimumi:

$$H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}$$

ku n është një numër i plotë . Nëse n është një numër i plotë, atëherë n < 0 duhet të nënkuptojë se n ≤ − 1, ndërsa n > 0 duhet të nënkuptojë që funksioni arrin një unitet në n = 1 . Prandaj, "funksioni i hapit" shfaq sjellje të ngjashme me dishezën mbi domenin e [ − 1, 1 ] dhe nuk mund të jetë autentikisht një funksion hap, duke përdorur konventën gjysmë-maksimumi.

Ndryshe nga rasti i vazhdueshëm, përkufizimi i H [0] është domethënës.

Impulsi i njësisë së kohës diskrete është diferenca e parë e hapit të kohës diskrete

$$\delta [n]=H[n]-H[n-1].$$

Integrali i pacaktuar dhe derivati

Funksioni dishezë është një integral i pacaktuar i funksionit të shkallës Heaviside:

$$\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.$$

Derivati i shpërndarjes së funksionit të hapit Heaviside është funksioni delta i Dirakut :

$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.$$

Transformimi i njëanshëm i Laplasit

Transformimi i Lapalasit i funksionit të hapit Heaviside është një funksion meromorfik . Duke përdorur transformimin e njëanshëm të Laplace kemi:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}$$