Kuaternioni

Tabela e shumëzimit të kuaternioneve

↓ × →	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1
Shtylla e majtë tregon faktorin e majtë, rreshti i sipërm tregon faktorin e djathtë. Gjithashtu, $a\mathbf {b} =\mathbf {b} a$ dhe $-\mathbf {b} =(-1)\mathbf {b}$ për $a\in \mathbb {R}$, $\mathbf {b} =\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$ .

Grafi Cayley Q8 që tregon gjashtë ciklet e shumëzimit me i, j dhe k . (Nëse imazhi hapet në Wikimedia Commons duke klikuar dy herë mbi të, ciklet mund të theksohen duke qëndruar pezull mbi to ose duke klikuar mbi to.)

Në matematikë, sistemi kuaternion i numrave zgjeron numrat kompleksë . Kuaternionet u përshkruan për herë të parë nga matematikani irlandez William Rowan Hamilton në 1843 dhe u aplikuan në mekanikë në hapësirën tre-dimensionale. Algjebra e kuaternioneve shpesh shënohet me H (për Hamilton ), ose me shkronja të zeza me $\mathbb {H} .$ Kuaternionet nuk janë fushë, sepse shumëzimi i kuaternioneve nuk është, në përgjithësi, ndërrues . Kuaternionet japin një përkufizim të herësit të dy vektorëve në një hapësirë tre-dimensionale. Kuaternionet përfaqësohen përgjithësisht në formën:

$$a+b\ \mathbf {i} +c\ \mathbf {j} +d\ \mathbf {k} ,$$

ku koeficientët a, b, c, d janë numra realë, dhe 1, i, j, k janë vektorët bazë ose elementet bazë .

Kuaternionet përdoren në matematikën e pastër, por gjithashtu kanë përdorime praktike në matematikën e zbatuar, veçanërisht për llogaritjet që përfshijnë rrotullime tre-dimensionale, të tilla si në grafikat kompjuterike tredimensionale, vizionin kompjuterik, imazhet e rezonancës magnetike dhe analizën e teksturës kristalografike . Ato mund të përdoren krahas metodave të tjera të rrotullimit, si këndet e Eulerit dhe matricat e rrotullimit, ose si një alternativë ndaj tyre, në varësi të aplikimit.

Në terma moderne, kuaternionet formojnë një algjebër të pjesëtimit të normuar shoqërues katërdimensional mbi numrat realë, dhe për këtë arsye një unazë, gjithashtu një unazë pjesëtimi dhe një domen . Është një rast i veçantë i një algjebre të Klifordit, e klasifikuar si $\operatorname {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {Cl} _{3,0}^{+}(\mathbb {R} ).$ Ishte algjebra e parë jondërruese e ndarjes që u zbulua.

Paraqitja grafike e produkteve të njësive të kuaternionit si rrotullime 90° në rrafshet e hapësirës 4-dimensionale të shtrirë nga dy nga {1, i, j, k }. Faktori i majtë mund të shihet si i rrotulluar nga faktori i duhur për të arritur te produkti. Vizualisht i ⋅ j = − ( j ⋅ i ) .

• Me blu:
  • 1 ⋅ i = i (plani 1/i )
  • i ⋅ j = k (plani i/k )
• Me të kuqe:
  • 1 ⋅ j = j (plani 1/j )
  • j ⋅ i = −k (plani j/k )

$$\mathbf {i} \,1=1\,\mathbf {i} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {j} \,1=1\,\mathbf {j} =\mathbf {j} ,\qquad \mathbf {k} \,1=1\,\mathbf {k} =\mathbf {k} \,.$$

Përkufizimi

Një kuaternion është një shprehje e formës

$$q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =a+\mathbf {v} ,$$

Bashkësia e kuaternioneve është një hapësirë vektoriale 4-dimensionale mbi numrat realë, me $\left\{1,\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \right\}$ si bazë, nga shtimi sipas përbërësve

$$a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} \ ,$$

dhe shumëzimi skalar sipas përbërësve

$${\begin{aligned}&(a_{1}+b_{1}\,\mathbf {i} +c_{1}\,\mathbf {j} +d_{1}\,\mathbf {k} )+(a_{2}+b_{2}\,\mathbf {i} +c_{2}\,\mathbf {j} +d_{2}\,\mathbf {k} )\\[3mu]&\qquad =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\,\mathbf {i} +(c_{1}+c_{2})\,\mathbf {j} +(d_{1}+d_{2})\,\mathbf {k} ,\end{aligned}}$$

• Kuaternion real 1 është elementi i identitetit .
• Kuaternionet reale ndërrohen me të gjithë kuaternionet e tjera, pra aq = qa për çdo kuaternion q dhe çdo kuaternion real a . Në terminologjinë algjebrike kjo do të thotë se fusha e kuaternioneve reale është <i id="mwAYU">qendra</i> e kësaj algjebre kuaternionesh.
• Prodhimi jepet fillimisht për elementet bazë (shih nënseksionin tjetër), dhe më pas shtrihet në të gjitha kuaternionet duke përdorur vetinë e përdasisë dhe vetinë qendrore të kuaternioneve reale. Produkti Hamilton nuk është ndërrues, por është shoqërues, kështu kuaternionet formojnë një algjebër asociative mbi numrat realë.
• Për më tepër, çdo kuaternion jozero ka një të anasjelltë në lidhje me prodhimin Hamiltonian: $$(a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\,(a-b\,\mathbf {i} -c\,\mathbf {j} -d\,\mathbf {k} ).$$

Shumëzimi i elementeve bazë

Tabela e shumëzimit

Jokomutativiteti theksohet nga katrorët me ngjyra

×	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	−1	k	−j
j	j	−k	−1	i
k	k	j	−i	−1

Shumëzimi me 1 të elementeve bazë i, j, dhe k përcaktohet nga fakti se 1 është një identitet shumëzues, d.m.th.

$${\begin{aligned}\mathbf {i} ^{2}&=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=-1,\\[5mu]\mathbf {i\,j} &=-\mathbf {j\,i} =\mathbf {k} ,\qquad \mathbf {j\,k} =-\mathbf {k\,j} =\mathbf {i} ,\qquad \mathbf {k\,i} =-\mathbf {i\,k} =\mathbf {j} .\end{aligned}}$$

Produktet e elementeve të tjera bazë janë

$$\lambda (a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} )=\lambda a+(\lambda b)\,\mathbf {i} +(\lambda c)\,\mathbf {j} +(\lambda d)\,\mathbf {k} .$$

Duke kombinuar këto rregulla,

$${\begin{aligned}\mathbf {i\,j\,k} &=-1.\end{aligned}}$$

$$a=\|q\|\cos(\varphi )$$

$$\ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}.$$

$$\exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right),$$

$$\mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\varphi )\,.$$

Funksionet e një ndryshoreje kuaternion

Bashkësitë Julia dhe Mandelbrot mund të zgjerohen në kuaternione, por ato duhet të përdorin seksione tërthore për t'u dhënë vizualisht në 3 dimensionet. Kjo bashkësi Julia është i prerë në rrafshin x y .

Ashtu si funksionet e një ndryshoreje komplekse, funksionet e një ndryshoreje kuaternione sugjerojnë modele të dobishme fizike. Për shembull, fushat origjinale elektrike dhe magnetike të përshkruara nga Maksuelli ishin funksione të një ndryshoreje kuaternione. Shembuj të funksioneve të tjera përfshijnë shtrirjen e bashkësisë Mandelbrot dhe bashkësive Julia në hapësirën 4-dimensionale.

Funksionet eksponenciale, logaritme dhe fuqi

Duke pasur parasysh një kuaternion,

$$q=\|q\|e^{{\hat {n}}\varphi }=\|q\|\left(\cos(\varphi )+{\hat {n}}\sin(\varphi )\right),$$

dhe logaritmi është

Nga kjo rrjedh se zbërthimi polar i një kuaternoni mund të shkruhet si:

$$q=\exp {({\hat {n}}\varphi )}.$$

ku këndi $\varphi$

$$q^{x}=\|q\|^{x}e^{{\hat {n}}x\varphi }=\|q\|^{x}\left(\cos(x\varphi )+{\hat {n}}\,\sin(x\varphi )\right)~.$$

dhe vektori njësi ${\hat {n}}$ përcaktohet nga:

Çdo kuaternion njësi mund të shprehet në formë polare si:

Fuqia e një kuaternoni të ngritur në një eksponent arbitrar (real) x jepet nga: