Logjika matematikore

Themelues i Logjikës matematikore konsiderohet matematikani anglez George Boole kuptimet e para të logjikës formale i kanë dhënë grekët e vjetër me përfaqësuesin kryesor të saj Aristotelin. Logjika matematikore lindi nga nevoja e eliminimit të kundërthënieve dhe paradokseve që u paraqitën në teorinë e bashkësive poashtu ajo ka luajtur një rol të veçantë në lindjen e disa lëmive të reja të matematikës bashkohore. Kjo degë përsosi simbolet e deriatëhershme dhe e plotësoi me simbole të reja gjuhën simbolike.

Gjykimet

Gjykimi (pohimi), është koncept themelor në Logjikën matematikore. Në aspektin e saktësisë gjykimi i nënshtrohet ligjit të përjashtimit të së tretës dhe merr vetëm njërën nga vlerat i saktë ose jo i saktë (true ose false).

P.sh. gjykime janë fjalitë : " Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe ", "1 + 1 = 1" (këto pohime në logjikën matematikore mirren si gjykime) jo të sakta, sepse "Tani unë po e lexojë këtë artikull të shkruar në gjuhen shqipe" dhe "1 + 1 = 2" janë gjykime të sakta. Vetitë i saktë dhe jo i saktë quhen vlera të saktësisë së gjykimit dhe shënohen me simbolet T (lexo : te) dhe $\perp$ (lexo : jo te). Simboli "T" është i ngjashëm me germën e parë të fjalës angleze True = i (e) saktë. Emërtimi i gjykimeve zakonisht bëhet me germat e vogla të alfabetit, si p, q, r... dhe trajtohen si variabla gjykimesh, ndërsa vlerat e tyre shënohen me : v(p), v(q), v(r)... dhe janë konstante. Mirëpo për thjeshtësi vlerat e gjykimeve shkruhen vetëm me emërtimin e gjykimit.

Fjalia e cila ka njërën nga e vlerat saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim.

Pohimit "Wikipedia nuk është e shkruar në gjuhen shqipe" kur të i japim njërën nga vlerat e saktësisë - e saktë ose jo e saktë - quhet gjykim. Mirëpo në matematikë përpos këtyre gjykimeve kemi edhe gjykime të hapura si p.sh. "Wikipedia do të ketë 1000 artikuj në vitin 2000+x" ose "10 + x = 200", etj. Varrësisht prej vlerës së variabilës x të cilës i japim (nëse shkruajmë më shumë artikuj viti 2005, x=5) vlera konkrete, gjykimet do jenë të sakta ose jo të sakta. Metoda e shndërrimit të një pohimi të tillë në gjykim quhet metoda e zëvendësimit (metoda e substitucionit).

gjykim i përbërë quhet gjykimi i cili fitohet kur dy gjykime të thjeshta i lidhim me lidhëzat ,,dhe,, ,,ose,, etj.

---

Operacione themelore logjike

  tabelat e saktësisë

Nëse një gjykimi të caktuar p i shtojmë parashtesën "jo" atëherë gjykimi jo p (ose "nuk është e vërtetë se p"), quhet negacion, ose mohim, i gjykimit p. Mohimi quhet operator unar, pasi vepron mbi një gjykim.

Nëse janë dhënë dy gjykime p, q, me anë të përdorimit të lidhsave (operatoreve) "dhe", "ose", "atëherë ...", "atëherë dhe vetëm atëherë...", fitohen gjykime të përbëra. Në bazë të lidhëzave dallojmë këto operacione ose gjykime të përbëra :

• Konjuksioni ( p dhe q)
• Disjunksioni ( p ose q)
• Implikacioni (nëse p atëherë q) ose (p implikon q)
• Ekuivalenca ( q atëherë dhe vetëm atëherë nëse p)

Kombinime te mëtejshme të veprimeve themelore çojnë në rrjedhime komplekse, si p.sh. : Kemi p, q, r. Nëse p atëherë q. Nëse q atëherë r. Si rrjedhim nëse p atëherë r.

Ligjet e logjikes matematikore (tautologjitë)

p.sh. :

• ligji i kontrapozicionit
• ligji i përjashtimit të së tretës
• silogjizmi hipotetik
• ligjet e De Morganit

Kuantifikatorët

Kuantifikatorët japin vlera të caktuara të cilat zëvendësojnë variablat në gjykimin e dhënë.

Simbolet matematikore

Matematika