Matricat Pauli

Wolfgang Pauli (1900–1958), shek. 1924. Pauli mori çmimin Nobel në fizikë në vitin 1945, i nominuar nga Albert Einstein, për parimin e përjashtimit të Paulit .

Në fizikën matematike dhe matematikë, matricat Pauli janë një grup prej tre matricash komplekse 2 × 2 që janë pa gjurmë, hermitiane, jovolutive dhe unitare . Zakonisht të treguara me shkronjën greke sigma ( σ ), ato shënohen herë pas here me tau ( τ ) kur përdoren në lidhje me simetritë izospine . $${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\\\end{aligned}}$$

Këto matrica kanë marrë emrin e fizikanit Wolfgang Pauli . Në mekanikën kuantike, ato ndodhin në ekuacionin Pauli, i cili merr parasysh bashkëveprimin e rrotullimit të një grimce nën një fushë elektromagnetike të jashtme. Ato gjithashtu përfaqësojnë gjendjet e ndërveprimit të dy filtrave të polarizimit për polarizimin horizontal/vertikal, polarizimi 45 gradë (djathtas/majtas) dhe polarizimi rrethor (djathtas/majtas).

Çdo matricë Pauli është hermitiane, dhe së bashku me matricën e identitetit I (ndonjëherë konsiderohet si matrica zero Pauli σ 0 ), matricat Pauli formojnë një bazë për hapësirën vektoriale reale të matricave 2 × 2 hermitiane. Kjo do të thotë që çdo matricë hermitiane 2 × 2 mund të shkruhet në një mënyrë unike si një kombinim linear i matricave Pauli, ku të gjithë koeficientët janë numra realë.

Operatorët hermitianë përfaqësojnë të vëzhgueshmet në mekanikën kuantike, kështu që matricat e Paulit përfshijnë hapësirën e vëzhguesve të hapësirës komplekse dy-dimensionale të Hilbertit . Në kontekstin e punës së Paulit, σk përfaqëson të vëzhgueshmen që korrespondon me rrotullimin përgjatë boshtit të koordinatave k në hapësirën Euklidiane tredimensionale $\mathbb {R} ^{3}.$

Matricat Pauli (pas shumëzimit me i për t'i bërë ato anti-hermitiane ) gjenerojnë gjithashtu transformime në kuptimin e algjebrave të gënjeshtrës : matricat iσ₁, iσ₂, iσ₃ formojnë një bazë për algjebrën reale Lie ${\mathfrak {su}}(2)$, i cili përfaqëson grupin unitar special SU(2) . Algjebra e krijuar nga tre matricat σ₁, σ₂, σ₃është izomorfe me algjebrën e Cliffordit të $\mathbb {R} ^{3},$ dhe algjebra shoqëruese (unitare) e krijuar nga iσ₁, iσ₂, iσ₃ funksionon identikisht ( është izomorfe ) me atë të kuaternioneve ( $\mathbb {H}$ ).

Vetitë algjebrike

Tabela e Kavlit ; hyrja tregon vlerën e rreshtit herë kolonën.

×	$\sigma _{x}$	$\sigma _{y}$	$\sigma _{z}$
$\sigma _{x}$	$I$	$i\sigma _{z}$	$-i\sigma _{y}$
$\sigma _{y}$	$-i\sigma _{z}$	$I$	$i\sigma _{x}$
$\sigma _{z}$	$i\sigma _{y}$	$-i\sigma _{x}$	$I$

Të tre matricat Pauli mund të kondensohen në një shprehje të vetme:

$\sigma _{j}={\begin{pmatrix}\delta _{j3}&\delta _{j1}-i\,\delta _{j2}\\\delta _{j1}+i\,\delta _{j2}&-\delta _{j3}\end{pmatrix}},$

ku zgjidhja për i² = −1 është " njësia imagjinare ", dhe δ_jk është delta e Kronecker-it, e cila është e barabartë me +1 nëse j = k dhe 0 ndryshe. Kjo shprehje është e dobishme për "përzgjedhjen" e cilësdo prej matricave numerikisht duke zëvendësuar vlerat e j = 1, 2, 3, nga ana tjetër e dobishme kur ndonjë nga matricat (por jo një e veçantë) do të përdoret në manipulimet algjebrike.

Matricat janë jovolutive :

$\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=-i\,\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I,$

ku I ja matrica e identitetit .

Përcaktorët dhe gjurmët e matricave Pauli janë

${\begin{aligned}\det \sigma _{j}&=-1,\\\operatorname {tr} \sigma _{j}&=0,\end{aligned}}$

nga e cila mund të nxjerrim përfundimin se çdo matricë σj ka eigenvlera +1 dhe −1.