Transformimi Z

Në matematikë dhe përpunimin e sinjalit, transformimi ose shndërrimi Z konverton një sinjal në kohë diskrete, i cili është një varg numrash realë ose kompleksë, në një përfaqësim kompleks të domenit të frekuencës ( rrafshin z ose planin z ). Mund të konsiderohet si një njëvlershëm i kohës diskrete i transformimit të Laplasit ( domeni s ose rrafshi s ). Kjo ngjashmëri është eksploruar në teorinë e llogaritjes së shkallës kohore .

Ndërsa transformimi Furier me kohë të vazhdueshme vlerësohet në boshtin vertikal të domenit s (boshti imagjinar), transformimi i Furierit në kohë diskrete vlerësohet përgjatë rrethit njësi të domenit z. Gjysmë rrafshi i majtë i domenit s hartëzohet me zonën brenda rrethit të njësisë së domenit z, ndërsa gjysma e rrafshit të djathtë të domenit s hartohet me zonën jashtë rrethit të njësisë së domenit z.

Një nga mjetet e projektimit të filtrave dixhitalë është marrja e modeleve analoge, nënshtrimi i tyre ndaj një transformimi bilinear i cili i hartëzon ato nga domeni s në domenin z, dhe më pas prodhohet filtri dixhital me inspektim, manipulim ose përafrim numerik. Metoda të tilla priren të mos jenë të sakta përveçse në afërsi të unitetit kompleks, pra në frekuenca të ulëta.

Përkufizimi

Transformimi Z mund të përkufizohet si një transformim i njëanshëm ose i dyanshëm . (Ashtu si kemi transformimin e Laplasit të njëanshëm dhe transformimin e Laplasit të dyanshëm . )

Transformimi Z dypalësh

Transformimi Z i dyanshëm ose i dyanshëm i një sinjali me kohë diskrete $x[n]$ është seria formale e fuqisë $X(z)$ përcaktuar si:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$Stampa:Equation box 1ku $n$ është një numër i plotë dhe $z$ është, në përgjithësi, një numër kompleks . Në formë polare, $z$ mund të shkruhet si:

$z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })$

ku $A$ është moduli i $z$, $j$ është njësia imagjinare, dhe $\phi$ është argumenti kompleks (i referuar edhe si kënd ose faza ) në radianë .

Transformimi i njëanshëm Z

Përndryshe, në rastet kur $x[n]$ është përcaktuar vetëm për $n\geq 0$, transformimi Z i njëanshëm përkufizohet si:

$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$Stampa:Equation box 1Në përpunimin e sinjalit, ky përkufizim mund të përdoret për të vlerësuar transformimin Z të përgjigjes së impulsit të njësisë së një sistemi shkakësor në kohë diskrete.

Një shembull i rëndësishëm i transformimit të njëanshëm Z është funksioni gjenerues i probabilitetit, ku përbërësja $x[n]$ është probabiliteti që një ndryshore e rastit diskrete të marrë vlerën $n$, dhe funksioni $X(z)$ zakonisht shkruhet si $X(s)$ ne kushtet e $s=z^{-1}$ . Vetitë e shndërrimeve Z (të renditura në Transformimi Z § Properties ) kanë interpretime të dobishme në kontekstin e teorisë së probabilitetit.

Transformimi Z i anasjelltë

Transformimi i anasjelltë Z është:Stampa:Equation box 1$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

ku $C$ është një shteg i mbyllur kundërorar që rrethon origjinën dhe i tëri në zonën e konvergjencës (ZK). Në rastin kur ZK është shkakësore (shih shembullin 2 ), kjo do të thotë shtegu $C$ duhet të rrethojnë të gjitha polet e $X(z)$ .

Rajoni i konvergjencës

Rajoni i konvergjencës ose zona e konvergjencës (ROC ose ZK) është grupi i pikave në planin kompleks për të cilin shuma e shndërrimit Z konvergjon (dmth. nuk shpërthen në madhësi deri në pafundësi):

$\mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}$

Shembulli 1 (pa ZK)

Le të jetë $x[n]=(.5)^{n}\ .$ Duke u zgjeruar $x[n]$ në intervalin $(-\infty ,\infty )$ bëhet

$x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.$

Duke parë shumën

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .$

Prandaj, nuk ka vlera të $z$ që plotësojnë këtë kusht.

Zona e konvergjencës (blu), $|z|=.5$ rrethi i zi me pika), dhe rrethi njësi (rrethi gri me pika).

Le $x[n]=(.5)^{n}\,u[n]$ (ku $u$ është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar $x[n]$ në intervalin $(-\infty ,\infty )$ bëhet

$x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.$

Duke parë shumën

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.$

Barazia e fundit lind nga seria e pafundme gjeometrike dhe barazia vlen vetëm nëse $|(.5)z^{-1}|<1,$ të cilat mund të rishkruhen në terma të $z$ si $|z|>(.5).$ Kështu, ZK është $|z|>(.5).$ Në këtë rast, ZK është rrafshi kompleks me një disk me rreze 0,5 në origjinë.

Shembulli 3 (ZK joshkakësore)

ZK (blu), $|z|=.5$ (rrethi i zi me pika), dhe rrethi njësi (rrethi gri me pika).

Le $x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]$ (ku $u$ është funksioni i hapit Heaviside ). Duke u zgjeruar $x[n]$ në intervalin $(-\infty ,\infty )$ bëhet

$x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.$

Duke parë shumën

${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}$

dhe duke përdorur sërish serinë e pafundme gjeometrike, barazia vlen vetëm nëse $|(.5)^{-1}z|<1$ të cilat mund të rishkruhen në terma të $z$ si $|z|<(.5).$ Kështu, ZK është $|z|<(.5).$ Në këtë rast, ZK është një zonë me qendër në origjinë dhe me rreze 0,5.

Vetitë

Vetitë e transformimit Z

Vetia	Rrafshi i kohës	Rrafshi Z	Prova	ZK
Përkufizimi i shndërrimit Z	$x[n]$	$X(z)$	$X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}$$x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}$	$r_{2}<|z|<r_{1}$
Lineariteti	$a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]$	$a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)$	${\begin{aligned}X(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(a_{1}x_{1}(n)+a_{2}x_{2}(n))z^{-n}\\&=a_{1}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}(n)\,z^{-n}+a_{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)\,z^{-n}\\&=a_{1}X_{1}(z)+a_{2}X_{2}(z)\end{aligned}}$	Përmban ROC1 ∩ ROC2
Zgjerimi në kohë	$x_{K}[n]={\begin{cases}x[r],&n=Kr\\0,&n\notin K\mathbb {Z} \end{cases}}$ me $K\mathbb {Z} :=\{Kr:r\in \mathbb {Z} \}$	$X(z^{K})$	${\begin{aligned}X_{K}(z)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{K}(n)z^{-n}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)z^{-rK}\\&=\sum _{r=-\infty }^{\infty }x(r)(z^{K})^{-r}\\&=X(z^{K})\end{aligned}}$	$R^{\frac {1}{K}}$
Cungimi	$x[Kn]$	${\frac {1}{K}}\sum _{p=0}^{K-1}X\left(z^{\tfrac {1}{K}}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{K}}p}\right)$	ohio-state.edu or ee.ic.ac.uk
Vonesa në kohë	$x[n-k]$ with $k>0$ and $x:x[n]=0\ \forall \,n<0$	$z^{-k}X(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x[n-k]\}&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n-k]z^{-n}\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-(j+k)}&&j=n-k\\&=\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}z^{-k}\\&=z^{-k}\sum _{j=-k}^{\infty }x[j]z^{-j}\\&=z^{-k}\sum _{j=0}^{\infty }x[j]z^{-j}&&x[\beta ]=0,\beta <0\\&=z^{-k}X(z)\end{aligned}}$	ZK, përveç $z{=}0$ nëse $k>0$ dhe $z{=}\infty$ nëse $k<0$
Hertesa në kohë	$x[n+k]$ with $k>0$	Transformimi z i dyanshëm: $$z^{k}X(z)$$ Transformimi z i njëanshëm: $$z^{k}\,X(z)-z^{k}\sum _{n=0}^{k-1}x[n]\,z^{-n}$$
Ndryshesa e parë pas	$x[n]-x[n-1]$ with $x[n]{=}0$ for $n<0$	$(1-z^{-1})\,X(z)$
Ndryshesa e parë para	$x[n+1]-x[n]$	$(z-1)\,X(z)-z\,x[0]$
Kthimi i kohës	$x[-n]$	$X(z^{-1})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x(-n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(-n)z^{-n}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)z^{m}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m){(z^{-1})}^{-m}\\&=X(z^{-1})\\\end{aligned}}$	${\tfrac {1}{r_{1}}}<|z|<{\tfrac {1}{r_{2}}}$
Shkallëzimi në domeinin z	$a^{n}x[n]$	$X(a^{-1}z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\left\{a^{n}x[n]\right\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n}x(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(a^{-1}z)^{-n}\\&=X(a^{-1}z)\end{aligned}}$	$|a|r_{2}<|z|<|a|r_{1}$
Konjugimi kompleks	$x^{*}[n]$	$X^{*}(z^{*})$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x^{*}(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{*}(n)z^{-n}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(z^{*})^{-n}\right]^{*}\\&=X^{*}(z^{*})\end{aligned}}$
Pjesa reale	$\operatorname {Re} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2}}\left[X(z)+X^{*}(z^{*})\right]$
Pjesa imagjinare	$\operatorname {Im} \{x[n]\}$	${\tfrac {1}{2j}}\left[X(z)-X^{*}(z^{*})\right]$
Diferencimi në rrafshin z	$n\,x[n]$	$-z{\frac {dX(z)}{dz}}$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{n\,x(n)\}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x(n)z^{-n}\\&=z\sum _{n=-\infty }^{\infty }n\,x(n)z^{-n-1}\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)(-n\,z^{-n-1})\\&=-z\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n){\frac {d}{dz}}(z^{-n})\\&=-z{\frac {dX(z)}{dz}}\end{aligned}}$	ZK, nëse $X(z)$ është racional; ZK me shumë mundësi përjashton kufirin, nëse $X(z)$ është racional
Convolution	$x_{1}[n]*x_{2}[n]$	$X_{1}(z)\,X_{2}(z)$	${\begin{aligned}{\mathcal {Z}}\{x_{1}(n)*x_{2}(n)\}&={\mathcal {Z}}\left\{\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)x_{2}(n-l)\right]z^{-n}\\&=\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n-l)z^{-n}\right]\\&=\left[\sum _{l=-\infty }^{\infty }x_{1}(l)z^{-l}\right]\!\!\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{2}(n)z^{-n}\right]\\&=X_{1}(z)X_{2}(z)\end{aligned}}$	Përmban ROC1 ∩ ROC2
Ndërkorrelimi	$r_{x_{1},x_{2}}=x_{1}^{*}[-n]*x_{2}[n]$	$R_{x_{1},x_{2}}(z)=X_{1}^{*}({\tfrac {1}{z^{*}}})X_{2}(z)$		Përmban prerjen e ZK të $X_{1}({\tfrac {1}{z^{*}}})$ dhe $X_{2}(z)$
Shtesa mbledhëse	$\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}X(z)$	${\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{n}x[k]z^{-n}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(x[n]+\cdots +x[-\infty ])z^{-n}\\&=X(z)\left(1+z^{-1}+z^{-2}+\cdots \right)\\&=X(z)\sum _{j=0}^{\infty }z^{-j}\\&=X(z){\frac {1}{1-z^{-1}}}\end{aligned}}$
Shumëzimi	$x_{1}[n]\,x_{2}[n]$	${\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}({\tfrac {z}{v}})v^{-1}\mathrm {d} v$		-

Teorema e Parsevalit

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v$

Teorema e vlerës fillestare : Nëse $x[n]$ është shkakësore, pra

$x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).$

Teorema e vlerës përfundimtare : Nëse polet e $(z-1)X(z)$ janë brenda rrethit njësi, atëherë

$x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).$

Tabela e çifteve të zakonshme të transformimit Z

Këtu:

$u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}$

është funksioni i hapit (ose i Heaviside) dhe

$\delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

	Sinjali, $x[n]$	Transformimi Z, $X(z)$	ZK
1	$\delta [n]$	1	çdo z
2	$\delta [n-n_{0}]$	$z^{-n_{0}}$	$z\neq 0$
3	$u[n]\,$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|>1$
4	$-u[-n-1]$	${\frac {1}{1-z^{-1}}}$	$|z|<1$
5	$nu[n]$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|>1$
6	$-nu[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}}$	$|z|<1$
7	$n^{2}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|>1\,$
8	$-n^{2}u[-n-1]\,$	${\frac {z^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1})^{3}}}$	$|z|<1\,$
9	$n^{3}u[n]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|>1\,$
10	$-n^{3}u[-n-1]$	${\frac {z^{-1}(1+4z^{-1}+z^{-2})}{(1-z^{-1})^{4}}}$	$|z|<1\,$
11	$a^{n}u[n]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|>|a|$
12	$-a^{n}u[-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{-1}}}$	$|z|<|a|$
13	$na^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|>|a|$
14	$-na^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}}{(1-az^{-1})^{2}}}$	$|z|<|a|$
15	$n^{2}a^{n}u[n]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|>|a|$
16	$-n^{2}a^{n}u[-n-1]$	${\frac {az^{-1}(1+az^{-1})}{(1-az^{-1})^{3}}}$	$|z|<|a|$
17	$\left({\begin{array}{c}n+m-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[n]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|>|a|$
18	$(-1)^{m}\left({\begin{array}{c}-n-1\\m-1\end{array}}\right)a^{n}u[-n-m]$	${\frac {1}{(1-az^{-1})^{m}}}$, for positive integer $m$	$|z|<|a|$
19	$\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-z^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
20	$\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {z^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{-1}\cos(\omega _{0})+z^{-2}}}$	$|z|>1$
21	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {1-az^{-1}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$
22	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)u[n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z^{-2}}}$	$|z|>|a|$

Funksioni i transferimit

Marrja e transformimit Z të ekuacionit të mësipërm (duke përdorur ligjet e linearitetit dhe të zhvendosjes së kohës) jep:

$Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}$

ku $X(z)$ dhe $Y(z)$ janë transformimi Z i $x[n]$ dhe $y[n],$ përkatësisht.

Riorganizimi i rezultateve në funksionin e transferimit të sistemit:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.$

Zerot dhe polet

Nga teorema themelore e algjebrës numëruesi ka $M$ rrënjë (që korrespondojnë me zerot e $H$ ) dhe emëruesi ka $N$ rrënjë (që korrespondojnë me polet). Rishkrimi i funksionit të transferimit në terma zerosh dhe polesh

$H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},$

ku $q_{k}$ eshte zero e $k^{\text{të}}$ dhe $p_{k}$ është poli i $k^{\text{të}}$ . Zerot dhe polet janë zakonisht komplekse dhe kur vizatohen në rrafshin kompleks (z-rrafsh), rezultati quhet grafiku pole-zero .

Përveç kësaj, mund të ekzistojnë edhe zero dhe pole në $z{=}0$ dhe $z{=}\infty .$ Nëse marrim në konsideratë këto pole dhe zero, si dhe zero dhe pole të rendit të shumëfishtë, numri i zerove dhe poleve është gjithmonë i barabartë.

Duke faktorizuar emëruesin, mund të përdoret zbërthimi i pjesshëm i thyesave, dhe funksionet rezultat më pas mund të shndërrohen përsëri në domenin e kohës me shndërrimin invers. Duke vepruar kështu do të rezultonte në përgjigjen impulsive dhe ekuacionin e ndryshimit të koeficientit konstant linear të sistemit.

Përgjigja e daljes

Nëse një sistem i tillë $H(z)$ provokohet nga një sinjal $X(z)$ atëherë prodhimi është $Y(z)=H(z)X(z).$ Duke kryer zbërthimin e thyesave të pjesshme në $Y(z)$ dhe më pas duke marrë transformimin Z të anasjelltë, mund te gjendet $y[n]$. Në praktikë, shpesh është e dobishme të zbërthehet në mënyrë të pjesshme $\textstyle {\frac {Y(z)}{z}}$ para se ta shumëzojmë atë madhësi me $z$ për të gjeneruar një formë të $Y(z)$ i cili ka terma me transformime Z të anasjellta lehtësisht të llogaritshme.