Vetia e ndërrimit

Në matematikë, një operacion binar është ndërrues nëse ndryshimi i renditjes së veprutasve nuk e ndryshon rezultatin. Është një veti themelore e shumë veprimeve binare, dhe shumë prova matematikore varen prej saj. Më i njohur si emri i vetisë që pohon diçka si "3 + 4 = 4 + 3" ose "2 × 5 = 5 × 2", vetia mund të përdoret gjithashtu në cilësime më të përparuara. Emri është i nevojshëm sepse ka veprime, të tilla si pjesëtimi dhe zbritja, që nuk e kanë atë (për shembull, "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); veprime të tilla nuk janë ndërruese, dhe kështu quhen veprime jondërruese . Ideja që veprimet e thjeshta, të tilla si shumëzimi dhe mbledhja e numrave, janë ndërruese, supozohej për shumë vite në mënyrë të nënkuptuar. Kështu, kjo veti nuk u emërtua deri në shekullin e 19-të, kur matematika filloi të zyrtarizohej. ^[1] ^[2] Një veti e ngjashme ekziston për marrëdhëniet binare ; një lidhje binare quhet simetrike nëse relacioni zbatohet pavarësisht nga radha e veprutasve të saj; për shembull, barazia është simetrike pasi dy objekte matematikore të barabarta janë të barabarta pavarësisht renditjes së tyre.

E ç'është vetia e ndërrimit?

Një veprim binar $*$ në një bashkësi S quhet ndërrues nëse ^[3] ^[4] $x*y=y*x\qquad {\mbox{për të gjitha }}x,y\in S.$ Një veprim që nuk plotëson vetinë e mësipërme quhet jondërrues .

Njëri thotë se $x$ ndërron me $y$ ose se $x$ dhe $y$ lëvizin nën $*$ nëse $x*y=y*x.$

Shembuj

Veprimet ndërruese

Mbledhja dhe shumëzimi janë ndërrues në shumicën e sistemeve të numrave, dhe, veçanërisht, midis numrave natyrorë, numrave të plotë, numrave racionalë, numrave realë dhe numrave kompleksë . Kjo është gjithashtu e vërtetë në çdo fushë .
Mbledhja është ndërruese në çdo hapësirë vektoriale dhe në çdo algjebër .
Bashkimi dhe kryqëzimi janë veprime ndërruese në bashkësi .
" Dhe " dhe " ose " janë veprime logjike ndërruese.

Veprime jondërruese

Pjesëtimi, zbritja dhe ngritja në fuqi

Pjesëtimi është jondërrues, pasi $1\div 2\neq 2\div 1$ .

Zbritja është jondërruese, pasi $0-1\neq 1-0$ . Megjithatë klasifikohet më saktë si kundër-ndërruese, pasi $0-1=-(1-0)$ .

Eksponentimi është jondërrues, pasi $2^{3}\neq 3^{2}$ . Kjo veti çon në dy veprime të ndryshme "të anasjellta" të fuqisë (përkatësisht, veprimi i rrënjës me indeks <i id="mwcA">n</i> dhe operacioni i logaritmit ), i cili është i ndryshëm nga shumëzimi.^{[ citim i nevojshëm ]}

Shumëzimi i matricave

Shumëzimi matricor i matricave katrore është pothuajse gjithmonë jondërrues, për shembull:

{\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}

Prodhimi vektorial

Produkti vektorial (ose prodhimi kryq ) i dy vektorëve në tre dimensione është kundërndërrues ; dmth, b × a = −( a × b ).

^ Cabillón Miller
^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, red. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. fq. 4. ISBN 9780191627941. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Krowne, p. 1
^ Weisstein, Commute, p. 1

[Cabillón-1] Cabillón Miller

[Flood11-2] Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, red. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. fq. 4. ISBN 9780191627941. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Krowne,_p.1-3] Krowne, p. 1

[4] Weisstein, Commute, p. 1

[1]

[2]

[3]

[4]