Ekuacionet e Maksuellit

Në elektromagnetizmin klasik, ekuacionet e Maksuellit janë një bashkësi prej katër ekuacionesh diferenciale pjesore që përshkruajnë vetitë e fushave elektrike dhe magnetike si dhe tregojnë lidhjen midis burimeve të tyre, densitetit të ngarkesës dhe densitetit të korrentit. Këto ekuacione mund të kombinohen për të treguar se drita është një valë elektromagnetike. Individualisht, ekuacionet janë të njohura si,ligji i Gausit, ligji i Gausit për magnetizmin, ligji i induksionit i Faradeit, dhe ligji i korrektuar i Amperit. Bashkësia e ekuacioneve është emëruar sipas Maksuellit i cili i solli këto ligje në një formë konsistente dhe i përdori ekuacionet për të treguar se ato përshkruajnë natyrën e dritës ose të valëve elektromagnetike.

Këto katër ekuacione, së bashku me ligjin e forcës së Lorencit formojnë ligjet e elektromagnetizmit klasik. Ligji i forcës së Lorencit vetë ishte në të vërtetë një derivim i bërë nga Maksuelli nën tezën Ekuacioni për forcën elektromotore dhe ishte një nga tetë ligjet nën formulimin e parë të teorisë.

Përshkrimi konceptual

Ky seksion do të përshkruajë konceptualisht secilin nga katër ekuacionet e Maksuellit, si dhe gjithashtu lidhjem midis tyre për të shpjeguar origjinën e rrezatimit elektromagnetik si drita. Ekuacionet ekzakte janë përcaktuar në nenet e më vonëshme të këtij artikulli.

• Ligji i Gausit përshkruan se si një fushë elektrike prodhohet nga ngarkesat elektrike: fusha elektrike tenton të drejtohet larg nga ngarkesat pozitive, drejt ngarkesave negative. Në mënyrë më formale, ky ligj jep lidhjen ndërmjet fluksit elektrik përmes një "sipërfaqeje Gausiane" hipotetike të mbyllur me ngarkesën elektrike brenda kësaj sipërfaqeje.

• Ligji i Gausit për magnetizmin deklaron se nuk ka "ngarkesa magnetike" (të quajtura gjithashtu monopole magnetike), nga analogja me ngarkesat elektrike. . Në vend të kësaj fusha magnetike prodhohet nga një konfiguracion i quajtur dipoli magnetik, e cila nuk ka ngarkesë magnetike, por i ngjan një ngarkese pozitive dhe negative të lidhura së bashku në mënyrë të pandashme. Pohimi ekuivalent formal shton se fluksi magnetik i plotë përmes një sipërfaqeje Gausiane është zero, ose fusha magnetike është një fushë solenoidal vektoriale.

Kujtesa e kores magnetike e An Wang(1954) është një aplikim i ligjit të Amperit. Secila kore mban një informacion një bit.

• Ligji i Faradeit përshkruan se si ndryshimi i një fushe magnetike mund të krijojë ( "induktojë") një fushë elektrike. Ky aspekt i induksionit elektromagnetik është parimi bazë pas tipave të shumtë të gjeneratorëve elektrikë: Një shufër magnetike rrotullohet për të krijuar një fushë magnetike që ndryshon, e cila nga ana e vet krijon një fushë elektrike në një tel të afërt. (Shënim: "ligji i Faradeit" që ndodh në ekuacionet e Maksuellit është pak i ndryshëm nga versioni i shkruar fillimisht nga Faradei. Të dyja versionet janë të sakta, por ato kanë fusha të ndryshme aplikimi, për shembull nëse "Forca elektromotore lëvizëse " përfshihet. Shihni Ligji i induksionit i Faradeit për detaje.)

• Ligji i Amperit me korrektimin e Maksuellit deklaron se fusha magnetike mund të gjenerohet në dy mënyra: nga korrenti elektrik (ky ishte "ligji origjinal i Amperit") dhe duke ndryshuar fushën elektrike (kjo ishte "korrektimi i Maksuellit").

Korrektimi i Maksuellit i ligjit të Amperit është veçanërisht i rëndësishëm: Ai do të thotë se një fushë magnetike që ndryshon krijon një fushë elektrike, dhe një fushë elektrike që ndryshon krijon një fushë magnetike. Prandaj, këto ekuacione lejojnë "valëve elektromagnetike" të vetë-qëndrueshme për të udhëtuar nëpër një hapësirë boshe (shikoni Ekuacioni i valës elektromagnetike).

Shpejtësia e llogaritur për valët elektromagnetike, të cilat mund të jenë parashikuar nga eksperimentet me ngarkesat dhe rrymat elektrike, saktësisht përputhet me shpejtësinë e dritës; kjo do të thotë se, drita është një formë e rrezatimit elektromagnetik (siç janë rrezet-X, valët e radios, dhe valë të tjera në spektrin elektromagnetik). Maksuelli e kishte kuptuar lidhjen midis valëve elektromagnetike dhe të dritës në 1864, duke unifikuar kështu fushat e veçanta të elektromagnetizmit dhe optikës.

Formulimi i përgjithshëm

Bashkësia moderne e ekuacioneve të Maksuellit (në formën jo relativiste në një mjedis jo dielektrik ose magnetik) është:

Ligji i Gausit	$\nabla \cdot$ $\mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
Ligji i Gausit per magnetizmin	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Ligji i induksionit i Faradeit	$\nabla \times$ $\mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Ligji i Amperit - duke perfshire rregullimin qe i beri Maksuelli(perfshirja e korrentit zhvendoses)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

Ligji i forcës së Lorencit (i derivuar nga Maksuelli) duhet ti shtrohet këtyre katër ekuacioneve në mënyrë që të kemi një bashkësi të plotë ligjesh që qeverisin fenomenet që ndodhin në elektromagnetizmin klasik.

Simbolet me tekst të trashë paraqesin madhësi vektoriale, simbolet me shkronja italike paraqesin madhësi skalare. Përcaktimet e termave të përdorura në dy tabelat e e ekuacioneve janë të dhëna në tabelën që vijon.

Formulimi në terma të ngarkesës së lirë dhe rrymës elektrike

Emri	Forma diferenciale	Forma integrale
Ligji i Gausit	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {D} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{f}(V)$
Ligji i Gausit për magnetizmin	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Ekuacioni i Maksuell–Faradeit (Ligji i induksionit i Faradeit)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}$
Ligji i Amperit (me korrektimin e Maksuellit)	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ${\displaystyle }$	$\oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{f,S}+{\frac {\partial \Phi _{D,S}}{\partial t}}$

Formulimi në terma të ngarkesës totale dhe korrentit

Emri	Forma diferenciale	Forma integrale
Ligji i Gausit	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q(V)}{\varepsilon _{0}}}$
Ligji i Gausit për magnetizmin	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Ekuacioni i Maksuell–Faradeit (Ligji i induksionit i Faradeit)	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}$
Ligji i Amperit (me korrektimin e Maksuellit)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$	$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{S}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \Phi _{E,S}}{\partial t}}$

Tabela e mëposhtme jep kuptimin e çdo simboli dhe njësinë matëse sipas SI :

Përcaktimi dhe njësia

Simboli	Kuptimi (Termi i parë është më i njohuri)	Njësia SI e matjes
$\mathbf {E} \$	Fusha elektrike e quajtur ndryshe intensiteti i fushës elektrike	volt për metër ose, në mënyrë ekuivalente, njuton për kulomb
$\mathbf {B} \$	Fusha magnetike e quajtur ndyshe induksioni magnetik e njohur ndyshe si densiteti i fushës magnetike e njohur ndryshe si densiteti i fluksit magnetik	tesla, ose në mënyrë ekuivalente, weber për metër katror, volt-sekondë për metër katror
$\mathbf {D} \$	Fusha elektrike zhvendosëse e quajtur ndyshe induksioni elektrik e njohur ndyshe si densiteti i fluksit elektrik	kulomb për metër katror ose në mënyrë ekuivalente , njuton për volt-metër
$\mathbf {H} \$	fusha magnetizuese e quajtur ndryshe fusha magnetike ndihmuese e njohur ndryshe si intensiteti i fushës magnetike e njohur ndryshe si fusha magnetike	amper për metër
$\mathbf {\nabla \cdot }$	operatori i divergjencës	për metër (faktor i kontribuar duke zbatuar seicilin operator)
$\mathbf {\nabla \times }$	operator i rrotacionit
${\frac {\partial }{\partial t}}$	derivati pjesor në lidhje me kohën	për sekondë (faktor i kontribuar duke zbatuar operatorin)
$\mathrm {d} \mathbf {A}$	elementi vektorial diferencial i zonës sipërfaqësore A, me madhësi infinitezimale dhe drejtim pingule me sipërfaqen S	metër katror
$\mathrm {d} \mathbf {l}$	elementi vektorial diferencial i gjatësisë së shtegut tangente me kurbën	metra
$\varepsilon _{0}\$	permitiviteti i boshllëkut, e quajtur ndryshe si konstantja elektrike, një konstante universale	farad për metër
$\mu _{0}\$	permiabiliteti i boshllëkut, i quajtur ndryshe si konstantja magnetike, një konstante universale	henri për metër, ose njuton për amper në katror
$\ \rho _{f}\$	Densiteti i ngarkesës së lirë (nuk përfshin ngarkesën e lidhur)	kulomb per meter kub
$\ \rho \$	Densiteti i përgjithshëm i ngarkesës (përfshin ngarkesën e lirë dhe ate të lidhur)	kulomb për metër kub
$\mathbf {J} _{f}$	Densiteti i rrymës së lirë (nuk përfshin korrentin e lidhur)	amper për metër katror
$\mathbf {J}$	Densiteti i përgjthshëm i korrentit (përfshin rrymën e lirë dhe atë të lidhur)	ampere për meter katror
$\,Q_{f}(V)$	Ngarkesa elektrike totale e lirë brenda vëllimit tre-dimensional V (nuk përfshin ngarkesën e lidhur)	kulomb
$\,Q(V)$	Ngarkesa elektrike totale brenda hapësirës tre-dimensionale V (përfshin ngarkesën e lirë dhe ate të lidhur)	kulomb
$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	integrali kurbolinear i fushës elektrike përgjatë kufirit ∂S të një sipërfaqeje S (∂S është një kurbë e mbyllur).	xhul për kulomb
$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	integrali kurbolinear i fushës magnetike mbi një kufi të mbyllur ∂S të sipërfaqes S	tesla-meter
$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	Fluksi elektrik (integrali sipërfaqësor i fushës elektrike) midis (sipërfaqes së mbyllur) $\partial V$ (kufiri i vëllimit V)	xhul-meter për kulomb
$\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {B} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	Fluksi magnetik (Integrali sipërfaqësor i fushës magnetike B) përmes (sipërfaqes së mbyllur) $\partial V$ (kufiri i volumit V)	tesla meter në katror ose webers
$\iint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{B,S}$	Fluksi magnetik përmes një sipërfaqeje S, mund të mos jetë e mbyllur	webers ose , volt-sekonda
$\iint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{E,S}$	Fluksi elektrik përmes një sipërfaqeje S, mund të mos jetë e mbyllur	xhul-meter për kulomb
$\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\Phi _{D,S}$	Fluksi i fushës elektrike zhvendosëse përmes një sipvrfaqeje S, mund të mos jetë e mbyllur	kulomb
$\iint _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{f,s}$	korrenti i lire që kalon përmes njv sipvrfaqeje S (nuk përfshin korrentin e lidhur)	amper
$\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =I_{S}$	rryma elektrike e përgjithshëme që kalon përmes sipërfaqes S (përfshin rrymën e lirë dhe rrymën e lidhur)	amper