Jump to content

Shpërndarja log-normale

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Log-normal
Probability density function
Plot of the Lognormal PDF
Identical parameter but differing parameters
Cumulative distribution function
Plot of the Lognormal CDF
Simboli
Parametrat,
Mbështetës
FDGJ
FGSH
Kuantili
Vlera e pritur
Mediana
Moda
Varianca
Shtrirja
Kurtoza e tepërt
Entropia
FGJMe përcaktuar vetëm për numrat me një pjesë reale jopozitive
FKpërfaqësimi është asimptotikisht divergjent por i mjaftueshëm për qëllime numerike
Informacione për Fisher
Metoda e Momenteve,

teorinë e probabilitetit, një shpërndarje log-normale (ose lognormale ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastit logaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë ka një shpërndarje normale. [1] [2] Në mënyrë ekuivalente, nëse ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i , , ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).

Shpërndarja përmendet herë pas here si shpërndarja Galton ose shpërndarja e Galtonit, pas Francis Galton. Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas .

Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e . [3]

Gjenerimi dhe parametrat

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë dhe të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit

quhet shpërndarja log-normale me parametra dhe . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i vetë.

Lidhja ndërmjet shpërndarjes normale dhe log-normale. Nëse atëherë shpërndahet normalisht shpërndahet log-normalisht.

Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse shpërndahet normalisht, atëherë kështu është për çdo dy numra pozitivë . Po kështu, nëse shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është , ku .

Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar dhe variancë , përdoret dhe

Funksioni i densitetit të probabilitetit

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një ndryshore e rastit pozitive është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th. ), nëse logaritmi natyror i X është i shpërndarë normalisht me mesatare dhe variancë  :

Le të jenë dhe përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes N (0,1), atëherë marrim [1]

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

The cumulative distribution function is

ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., ).

Kjo mund të shprehet edhe si vijon: [1]

ku erfc është funksioni i gabimit plotësues .

Modaliteti, mesatarja, kuantilet

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Krahasimi i mesatares, medianës dhe modës së dy shpërndarjeve log-normale me anësi të ndryshme.

Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin , marrim se:

Meqenëse ndryshorja e log-transformuar ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e janë

ku është kuantili i shpërndarjes normale standarde.

Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese, [4]

Pritja e pjesshme

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit në lidhje me një prag përkufizohet si

Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:

ku është funksioni normal kumulativ i shpërndarjes.

Pritja e kushtëzuar

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale - në lidhje me një prag — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:

Shumëfishi, e anasjellta, fuqia

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Shumëzimi me një konstante: Nëse atëherë për
  • Reciproke: Nëse atëherë
  • Fuqia: Nëse atëherë për

Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale dhe janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra [ ] dhe , ku . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e ndryshoreve të tilla.

Në përgjithësi, nëse janë ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë

Shpërndarjet e ndërlidhura

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Nëse është një shpërndarje normale, atëherë
  • Nëse shpërndahet log-normalisht, atëherë është një ndryshore e rastit normale.
  • Le të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme dhe parametrat, dhe . Shpërndarja e nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale në bishtin e djathtë. [5] Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow [6] ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:

Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale 

  • Nëse pastaj thuhet se ka një shpërndarje log-normale me tre parametra me mbështetje . [7] , .
  • Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit . [8]
  • Nëse me , pastaj ( Shpërndarja Suzuki ).

Konkluzioni statistikor

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Vlerësimi i parametrave

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale μ dhe σ, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re seku është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale . Prandaj, funksioni log-përgjasi ështëMeqenëse termi i parë është konstant në lidhje me μ dhe σ, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike, dhe , arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën dhe . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet ,

Ndodhia dhe zbatimet

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë. [9] Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares. 

Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.

Sjellje njerezore

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale. [10]
  • Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale.
  • Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale. [11]
  • Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale. [12]

Biologji dhe mjekësi

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha). [13]
  • Periudha e inkubacionit të sëmundjeve. [14]
  • Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb. [15]
  • Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë . [16]
  • Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë. 
  • Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra). [17]
  • Disa variabla farmakokinetikë, si C <sub id="mwAsM">max</sub>, koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit . [18]
  • Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal, [19] dhe gjetkë në tru. [20] [21] Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale [22] .
  • Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
  • Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme. [23]
  • Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .
  • Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale. [24]
  • Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao. [15]
Shpërndarja mbledhëse log-normale e përshtatur me reshje maksimale vjetore 1-ditore, shih përshtatjen e shpërndarjes

Shkencat sociale dhe demografia

[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
  • ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht. [25] (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ).
  • Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde , atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si ku është funksioni i gabimit, pasi , ku është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
  • financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale [26] (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar [27] se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë . [28] Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
  • Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale. [29] [30]
  • Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit. [31] Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
  • Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale. [32]
  • Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm. [33]
  • komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian). [34] Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
  • Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie . [35]
  • Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999. [36] [10]
  • Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000). [10]
  • Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit.
  1. ^ a b c Weisstein, Eric W. "Log Normal Distribution". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-09-13. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":1" defined multiple times with different content
  2. ^ "1.3.6.6.9. Lognormal Distribution". www.itl.nist.gov. Marrë më 2020-09-13. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ Park, Sung Y.; Bera, Anil K. (2009). "Maximum entropy autoregressive conditional heteroskedasticity model" (PDF). Journal of Econometrics. 150 (2): 219–230. CiteSeerX 10.1.1.511.9750. doi:10.1016/j.jeconom.2008.12.014. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2016-03-07. Marrë më 2011-06-02. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Table 1, p. 221.
  4. ^ Daly, Leslie E.; Bourke, Geoffrey Joseph (2000). Interpretation and uses of medical statistics. Vëll. 46 (bot. 5th). Wiley-Blackwell. fq. 89. doi:10.1002/9780470696750. ISBN 978-0-632-04763-5. PMC 1059583. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!); Parametri |work= është injoruar (Ndihmë!)
  5. ^ Asmussen, S.; Rojas-Nandayapa, L. (2008). "Asymptotics of Sums of Lognormal Random Variables with Gaussian Copula" (PDF). Statistics and Probability Letters. 78 (16): 2709–2714. doi:10.1016/j.spl.2008.03.035. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  6. ^ Marlow, NA. (nën 1967). "A normal limit theorem for power sums of independent normal random variables". Bell System Technical Journal. 46 (9): 2081–2089. doi:10.1002/j.1538-7305.1967.tb04244.x. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  7. ^ Sangal, B.; Biswas, A. (1970). "The 3-Parameter Lognormal Distribution Applications in Hydrology". Water Resources Research. 6 (2): 505–515. doi:10.1029/WR006i002p00505. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  8. ^ Johnson, N. L. (1949). "Systems of Frequency Curves Generated by Methods of Translation". Biometrika. 36 (1/2): 149–176. doi:10.2307/2332539. JSTOR 2332539. PMID 18132090. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  9. ^ Sutton, John (mar 1997). "Gibrat's Legacy". Journal of Economic Literature. 32 (1): 40–59. JSTOR 2729692. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
  10. ^ a b c Pawel, Sobkowicz; etj. (2013). "Lognormal distributions of user post lengths in Internet discussions - a consequence of the Weber-Fechner law?". EPJ Data Science. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":3" defined multiple times with different content
  11. ^ "What is the average length of a game of chess?". chess.stackexchange.com. Marrë më 14 prill 2018. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  12. ^ Heil P, Friedrich B (2017). "Onset-Duration Matching of Acoustic Stimuli Revisited: Conventional Arithmetic vs. Proposed Geometric Measures of Accuracy and Precision". Frontiers in Psychology. 7: 2013. doi:10.3389/fpsyg.2016.02013. PMC 5216879. PMID 28111557. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  13. ^ Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth. London. ISBN 978-0-486-61114-3. OCLC 476909537. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  14. ^ Sartwell, Philip E. "The distribution of incubation periods of infectious disease." American journal of hygiene 51 (1950): 310-318.
  15. ^ a b Limpert, Eckhard; Stahel, Werner A.; Abbt, Markus (2001). "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues". BioScience (në anglisht). 51 (5): 341. doi:10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2. ISSN 0006-3568. Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content
  16. ^ S. K. Chan, Jennifer; Yu, Philip L. H. (2006). "Modelling SARS data using threshold geometric process". Statistics in Medicine. 25 (11): 1826–1839. doi:10.1002/sim.2376. PMID 16345017. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  17. ^ Makuch, Robert W.; D.H. Freeman; M.F. Johnson (1979). "Justification for the lognormal distribution as a model for blood pressure". Journal of Chronic Diseases. 32 (3): 245–250. doi:10.1016/0021-9681(79)90070-5. PMID 429469. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  18. ^ Lacey, L. F.; Keene, O. N.; Pritchard, J. F.; Bye, A. (1997-01-01). "Common noncompartmental pharmacokinetic variables: are they normally or log-normally distributed?". Journal of Biopharmaceutical Statistics (në anglisht). 7 (1): 171–178. doi:10.1080/10543409708835177. ISSN 1054-3406. PMID 9056596.
  19. ^ Mizuseki, Kenji; Buzsáki, György (2013-09-12). "Preconfigured, skewed distribution of firing rates in the hippocampus and entorhinal cortex". Cell Reports. 4 (5): 1010–1021. doi:10.1016/j.celrep.2013.07.039. ISSN 2211-1247. PMC 3804159. PMID 23994479. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  20. ^ Buzsáki, György; Mizuseki, Kenji (2017-01-06). "The log-dynamic brain: how skewed distributions affect network operations". Nature Reviews. Neuroscience. 15 (4): 264–278. doi:10.1038/nrn3687. ISSN 1471-003X. PMC 4051294. PMID 24569488. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  21. ^ Wohrer, Adrien; Humphries, Mark D.; Machens, Christian K. (2013-04-01). "Population-wide distributions of neural activity during perceptual decision-making". Progress in Neurobiology. 103: 156–193. doi:10.1016/j.pneurobio.2012.09.004. ISSN 1873-5118. PMC 5985929. PMID 23123501. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  22. ^ Scheler, Gabriele (2017-07-28). "Logarithmic distributions prove that intrinsic learning is Hebbian". F1000Research. 6: 1222. doi:10.12688/f1000research.12130.2. PMC 5639933. PMID 29071065. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  23. ^ Polizzi, S., Laperrousaz, B., Perez-Reche, F. J., Nicolini, F. E., Satta, V. M., Arneodo, A., & Argoul, F. (2018). A minimal rupture cascade model for living cell plasticity. New Journal of Physics, 20(5), 053057. doi: https://doi.org/10.1088/1367-2630/aac3c7
  24. ^ Ahrens, L. H. (1954-02-01). "The lognormal distribution of the elements (A fundamental law of geochemistry and its subsidiary)". Geochimica et Cosmochimica Acta (në anglisht). 5 (2): 49–73. Bibcode:1954GeCoA...5...49A. doi:10.1016/0016-7037(54)90040-X. ISSN 0016-7037.
  25. ^ Clementi, Fabio; Gallegati, Mauro (2005) "Pareto's law of income distribution: Evidence for Germany, the United Kingdom, and the United States", EconWPA
  26. ^ Black, F.; Scholes, M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637. doi:10.1086/260062. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  27. ^ Mandelbrot, Benoit (2004). The (mis-)Behaviour of Markets. Basic Books. ISBN 9780465043552. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  28. ^ Bunchen, P., Advanced Option Pricing, University of Sydney coursebook, 2007
  29. ^ Thelwall, Mike; Wilson, Paul (2014). "Regression for citation data: An evaluation of different methods". Journal of Informetrics. 8 (4): 963–971. arXiv:1510.08877. doi:10.1016/j.joi.2014.09.011. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  30. ^ Sheridan, Paul; Onodera, Taku (2020). "A Preferential Attachment Paradox: How Preferential Attachment Combines with Growth to Produce Networks with Log-normal In-degree Distributions". Scientific Reports. 8 (1): 2811. arXiv:1703.06645. doi:10.1038/s41598-018-21133-2. PMC 5809396. PMID 29434232. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  31. ^ Eeckhout, Jan (2004). "Gibrat's Law for (All) Cities". American Economic Review. 94 (5): 1429–1451. doi:10.1257/0002828043052303. JSTOR 3592829 – nëpërmjet JSTOR. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  32. ^ Kault, David (1996). "The Shape of the Distribution of the Number of Sexual Partners". Statistics in Medicine. 15 (2): 221–230. doi:10.1002/(SICI)1097-0258(19960130)15:2<221::AID-SIM148>3.0.CO;2-Q. PMID 8614756. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  33. ^ O'Connor, Patrick; Kleyner, Andre (2011). Practical Reliability Engineering. John Wiley & Sons. fq. 35. ISBN 978-0-470-97982-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  34. ^ "Shadowing". www.WirelessCommunication.NL. Arkivuar nga origjinali më 13 janar 2012. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  35. ^ Gros, C; Kaczor, G.; Markovic, D (2012). "Neuropsychological constraints to human data production on a global scale". The European Physical Journal B. 85 (28): 28. arXiv:1111.6849. Bibcode:2012EPJB...85...28G. doi:10.1140/epjb/e2011-20581-3. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  36. ^ Douceur, John R.; Bolosky, William J. (1999-05-01). "A large-scale study of file-system contents". ACM SIGMETRICS Performance Evaluation Review. 27 (1): 59–70. doi:10.1145/301464.301480. ISSN 0163-5999. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)